Пример. В группе 30 человек. Необходимо выбрать старосту и профорга

В группе 30 человек. Необходимо выбрать старосту и профорга. Сколькими способами можно это сделать?

Старостой может выбран любой из 30 учащихся, т.е. существует 30 способов выбора старосты. После того как староста уже выбран, профоргом можно выбрать любого из оставшихся 29 учащихся. Таким образом, одному способу выбора старосты соответствуют 29 способов выбора профорга. Следовательно, общее число способов выбора старосты и профорга равно 30∙29=870.

Правило сложения:

Если два действия взаимно исключают друг друга, причем одно из них можно выполнить m различными способами, а другое – n способами, то выполнить одно любое из этих действий можно m+n способами.

Правило распространяется на любое конечное число действий.

Можно отметить, что знак умножения в соответствующем правиле соответствует союзу «и» русского языка. А знак сложения – союзу «или». Причём, союз «или» применяется во взаимоисключающем смысле.

Пример.

Имеется 20 изделий 1-го сорта и 30 изделий 2-го сорта. Необходимо выбрать два изделий одного сорта. Сколько способов выбора двух изделий возможно в данной ситуации, если учитывается порядок выбора изделий?

Условимся первым действием считать выбор изделий 1-го, вторым – выбор изделий 2-го сорта. По правилу умножения два изделия 1-го сорта можно выбрать 20∙19=380 способами. Аналогично, два изделия 2-го сорта можно выбрать 30∙29=870 способами. Согласно условию задачи следует выбрать два изделия одного сорта, не важно какого. Это могут быть либо изделия 1-го сорта, либо изделия 2-го сорта. Таким образом, должно выполнено либо первое действие, либо втрое, но не первое действие, а затем второе. Эти действия не могут быть выполнены одновременно, поскольку взаимно исключают друг друга. Поэтому общее число способов выбора изделий одного сорта равно 380+870=1250.