Неевклидовы геометрии

Мы привыкли, что в двухмерном пространстве, то есть на плоскости, есть своя, присущая только плоскости геометрия. Так, сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Через точ­ку, лежащую вне прямой, можно провести только одну пря­мую, параллельную данной. Это - постулаты Евклидовой гео­метрии. По аналогии предполагается, что и реальное трехмер­ное пространство, в котором мы с вами существуем, есть евк­лидово пространство. И все аксиомы плоскостной геометрии остаются верными и для пространства трех измерений. Такой вывод на протяжении многих веков не подвергался сомнению. Лишь в прошлом веке независимо друг от друга русский мате­матик Николай Лобачевский и немецкий математик Георг Ри-ман усомнились в общепризнанном мнении. Они доказали, что могут существовать и иные геометрии, отличные от евклидо­вой, но столь же внутренне непротиворечивые.

Итак, пятый постулат Евклида утверждает, что через точку вне прямой можно провести лишь одну прямую, параллельную данной. Логически рассуждая, легко увидеть еще две возмож­ности:

- через точку вне прямой нельзя провести ни одной прямой,
параллельной данной (постулат Римана);

- через точку вне прямой можно провести бесчисленное
множество прямых, параллельных данной (постулат Лоба­
чевского).

На первый взгляда эти утверждения звучат абсурдно. На плоскости они и в самом деле неверны. Но ведь могут

существовать и иные поверхности, где имеют место постулаты Римана и Лобачевского.

Представьте себе, например, поверхность сферы. На ней кратчайшее расстояние между двумя точками отсчитывается не по прямой (на поверхности сферы прямых нет), а по дуге большого круга (так называют окружности, радиусы кото­рых равны радиусу сферы). На земном шаре подобными кратчайшими, или, как их называют, геодезическими, линия­ми служат меридианы. Все меридианы, как известно, пересе­каются в полюсах, и каждый из них можно считать прямой, параллельной данному меридиану. На сфере выполняется своя, сферическая геометрия, в которой верно утверждение: сумма углов треугольника всегда больше 180°. Представьте себе на сфере треугольник, образованный двумя меридиана­ми и дугой экватора. Углы между меридианами и экватором равны 90°, а к их сумме прибавляется угол между меридиана­ми с вершиной в полюсе. На сфере, таким образом, нет непе­ресекающихся прямых.

Существуют и такие поверхности, для которых оказывается верным постулат Лобачевского. К ним относится, например, седловидная поверхность, которая называется псевдосферой. На ней сумма углов треугольника меньше 180°, и невозможно провести ни одной прямой, параллельной данной.

После того, как Риман и Лобачевский доказали внутрен­нюю непротиворечивость своих геометрий, возникли законные сомнения в евклидовом характере реального трехмерного про­странства. Не является ли оно искривленным наподобие сферы или псевдосферы? Конечно, наглядно представить себе ис­кривленность трехмерного пространства невозможно. Можно лишь рассуждать по аналогии. Поэтому, если реальное про­странство не евклидово, а сферическое, не следует воображать его себе в виде некоторой обычной сферы. Сферическое про­странство есть сфера, но сфера четырехмерная, не поддающая­ся наглядному представлению. По аналогии можно сделать вывод, что объем такого пространства конечен, как конечна поверхность любого шара - ее можно выразить конечным чис­лом квадратных сантиметров. Поверхность всякой четырех­мерной сферы также выражается в конечном количестве кубо­метров. Такое сферическое пространство не имеет границ и в этом смысле - безгранично. Летя в таком пространстве по од­ному направлению, мы в конце концов вернемся в исходную точку. Так же и муха, ползущая по поверхности шара, нигде не найдет границ. В этом смысле и поверхность любого шара без­гранична, хотя и конечна. То есть безграничность и бесконеч­ность - разные понятия.