Рассмотрим узкий гомоцентрический конус лучей.
– угол мал
, – пучок параксиальный (приосевой) (1)
Будем считать расстояния, отсчитываемые от поверхности влево – отрицательными, а от вправо – положительными.
Из по теореме синусов, получаем
,
. (2)
Из следует
. (3)
Уравнение (2) умножим на уравнение (3):
, (4)
.
Следовательно
. (5)
Введем следующие обозначения , , (6)
(7)
,
,
следовательно
. (8)
(9)
, (10)
следовательно произведение и называется нулевым инвариантом Аббе.
Пользуясь правилом знаков
а) – поверхность выпуклая а) b)
(11)
b) – поверхность вогнутая
Применим (9) для сферического зеркала:
, ,
так как или
после отражения равно (или ), то
.
Следовательно
(13)
(14)
Если , тогда от поверхности . Это расстояние называется фокусным расстоянием.
При , тогда
. (18)
где и зависят только от , и . Следовательно, и для заданных , и являются постоянными.
Для тонкой линзы с и
Для поверхности :
(для левой) (19)
Для поверхности :
(для правой) (20)
или .
|
|
Обозначая , получаем
(21)
Частные случаи:
1) Симметричная линза
и (22)
.
2) Линза в воздухе
,
следовательно
(23)
Если лучи не близкие к оси системы, то погрешности превышают аберрации оптической системы.
О – центр, F – фокус
,
– продольная аберрация, – поперечная аберрация
, следовательно
, (24)
так как .
Формирование изображения предмета, имеющего конечные размеры, сферической поверхностью раздела двух сред с показателями преломления и .
и
и
,
,
следовательно
, .
Тогда
и ,
следовательно
или
– теорема Лагранжа-Гельгмгольца
Для сред
(25)
Применительно к зеркалу, то есть из этой теоремы получаем
следовательно
. (26)
Если и имеют одинаковые знаки, то есть изображение находится перед зеркалом, следовательно – действительное, то отношение – отрицательное; изображение перевернуто по отношению к предмету.
Если изображение мнимое, то есть – отрицательное, то и имеют одинаковые знаки; изображение – прямое.