Прямая и обратная задачи оптимизации индивидуального спроса

Индивидуальный спрос – это спрос, предъявляемый конкурентным потребителям.

Кривая индивидуального спроса показывает то количество продукта (товара), которое потребители хотят купить по соответствующей цене в данный момент.

Геометрическая форма кривой (отрицательный наклон) отражает обратную зависимость объема спроса (Q) и цены (P), а также снижающейся предельной полезности каждой дополнительной единицы покупаемого товара, что объясняет падение его цены (рис.6.1).

На индивидуальный спрос влияют: цена товара, уровень дохода потребителя, количество человек в семье потребителя, его социальный уровень, система ценностей, уровень задолженности.

Рис. 6.1. Кривая спроса

Движение по кривой спроса (D) показывает, как изменение цены (P) влияет на изменение объема спроса (Q). При этом положение кривой спроса D остается прежним, т.е. спрос на товар не изменился.

Механизм функционирования рынка обязывает анализировать ситуации, в которых действует множество потребителей и производителей.

Понятие спроса на определенный товар отражает поведение массового потребителя. Объем рыночного спроса на данный товар слагается из спроса множества субъектов, выступающих в качестве покупателей в определенный промежуток времени.

На рыночный спрос оказывают влияние: цена товара, доходы покупателей, число покупателей, предпочтения покупателей.

Кривая рыночного спроса показывает объем спроса всех потребителей при любой цене и представляет собой сумму кривых спроса всех рыночных субъектов (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Индивидуальный (а) и рыночный спрос (б)

Она может быть построена из кривых индивидуального спроса (по горизонтали) на данный продукт путем сложения его количеств (Qd1+ Qd2+ Qd3), на которые каждый покупатель предъявляет спрос при каждой возможной цене на единицу продукта. Как и кривая индивидуального спроса, кроме рыночного спроса будет иметь отрицательный наклон.

8. Оптимизация решений потребителя. Метод множителей Лагранжа для решения задач потребителя на максимум полезности и минимум расходов

Пусть требуется найти экстремум функции при ограничении где f и g – функции n переменных.

Введем вспомогательную переменную (множитель Лагранжа) и составим новую функцию (так называемую, функцию Лагранжа или лагранжиан):

Необходимые условия экстремума состоят в равенстве в точке экстремума нулю частных производных функции Лагранжа по переменным:

Пусть потребитель располагает доходом I = 100 рублей и распределяет его на покупку двух товаров: одежды по цене Рх = 3 рубля за единицу и еды по цене Рy = 2 рубля за единицу.

Функция полезности потребителя имеет вид: U(x;y)=X²Y³, где x, y - потребляемые количества одежды и еды, соответственно. Требуется найти спрос потребителя на одежду и еду.

Задача потребителя состоит в максимизации целевой функции U(x;y) при бюджетном ограничении: 3X+2Y=100.

В нашем примере чтобы бюджетное ограничение приняло вид:

перепишем его как:

Составим функцию Лагранжа:

и получим необходимые условия экстремума:

Из первых двух уравнений следует, что

Подставляем в третье уравнение и находим спрос потребителя на одежду и еду, максимизирующий его полезность: