1. Рефлексивность:
x r x (например, x = x)
2. Антирефлексивность:
ù x r x (например, x < x)
3. Симметричность:
x r y Þ y r x (например, x = y Þ y = x)
4. Антисимметричность:
x ¹ y, x r y Þù y r x
(например, x ¹y; y £ x Þù y ³ x)
4¢. Асимметричность:
xry Þ ù y r x (например, x < y Þù y < x)
5. Связность(полнота):
x ¹ y Þ x r y или y r x
(например, для любых двух различных натуральных чисел: либо x < y, либо y < x)
6. Транзитивность:
x r y, y r z Þ x r z
(например, x = y и у = z Þ y = z)
7. Антитранзитивность:
x r y, y r z Þù x r z
(например, отношение перпендикулярности прямых).
Отношение эквивалентности.
Отношение, обладающее одновременно свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, называется отношением эквивалентности.
~ - символ отношения эквивалентности.
[x] - множество элементов, эквивалентных x (класс эквивалентности х).
Свойства отношения эквивалентности:
1. x ~ х
2. Если x ~ y Þ [x] = [y]
Доказательство 1-го свойства: Следует из свойства рефлексивности.
|
|
Доказательство 2-го свойства:
1. z Î [x] Þ z ~ x, x ~ y Þ z ~ y Þ z Î [y], т.е. [x] Í [y]
2. z Î [y] Þ z ~ y, x ~ y Þ z ~ x Þ z Î [x], т.е. [y] Í [x].
Следовательно [x] = [y]
P(M) - множество-степень множества М есть множество всех подмножеств множества М.
Пример:
М={1, 2, 3}
P(M)={Æ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
П(M) - покрытием множества М будем называть любое подмножество множества Р(М), такое, что объединение входящих в него элементов совпадает с М.
П(M) = {{1,2}, {2}, {2,3}}
так как {1,2} È {2} È {2,3} = {1, 2,3}
R(M) - разбиением множества М называется такое покрытие множества М, в котором элементы не пересекаются.
Пример разбиения: R = {{1,2}, {3}}
Свойства:
1. Каждый элемент исходного множества М принадлежит какому-либо из множеств, составляющих разбиение.
2. Каждый элемент исходного множества принадлежит строго одному из множеств, составляющих разбиение.
Теорема: Отношение эквивалентности разбивает множество, на котором оно определено на классы эквивалентности.
Доказательство:
1. Очевидно х ~ [x]
2. Предположим, что z Î [x] и z Î [y]. Тогда из x ~ y и z ~ y следует x ~ y и по второму свойству отношения эквивалентности [x] = [y].
Отношения порядка.
Порядок / Свойства | Рефлексивность | Антирефлексивность | Антисимметричность | Полнота | Транзитивность |
нестрогий (частичный) | + | + | + | ||
совершенный нестрогий | + | + | + | + | |
строгий | + | (+) | + | ||
совершенный строгий | + | (+) | + | + |
То есть, например, нестрогий (частичный) порядок - отношение, обладающее свойствами: рефлексивности, антисимметричности и транзитивности.