Доказательство. 1. Поскольку множество R имеет такую же мощность, как и любой отрезок R, то будем рассматривать отрезок между 0 и 1

1. Поскольку множество R имеет такую же мощность, как и любой отрезок R, то будем рассматривать отрезок между 0 и 1. Числа будут представляться в виде бесконечных десятичных дробей. Конечные дроби для однозначности будут заменяться своими бесконечными аналогами. Например, 0.45 = 0.4499999…

Допустим, что каким-то образом установлено взаимно-однозначное соответствие между числами отрезка от 0 до 1 и множеством N.

0, а₁¹, а₂¹, а₃¹........

0, а₁²,а₂², а₃²........

0, а₁³,а₂³,а₃³ ......

…………..

Но здесь отсутствует число 0, b₁, b₂, b₃... где a₁¹ ¹ b₁, b₂ ¹ a₂² ... b_n ¹ a_nⁿ

Следовательно, предположение о возможности «пересчитать» множество действительных чисел на отрезке от 0 до 1 неверно. Действительных чисел больше.

Мощность множества действительных чисел À₁ называется мощностью континуума.

13. Проблема континуума, арифметика бесконечного.

14. Операции над высказываниями.
Под высказыванием будем понимать повествовательное предложение, относительно которого можно сказать - истинно оно или ложно.

Высказываниями не являются определения, восклицательные и вопросительные предложения, а также логические парадоксы.

Операции над высказываниями

1.Дизъюнкция (логическое “или”, “логическое сложение”). Наиболее популярные обозначения: Ú и +.

2. Конъюнкция (логическое “и” “логическое умножение”). Наиболее популярные обозначения: ×, Ù и &.

3. Отрицание (логическое “не”). Наиболее популярные обозначения: ù и.

4. Импликация (логическое “если..., то”, “влечет”) ®.

5. Эквивалентность (логическое “если и только если”) «.

6. Неравнозначность (или “сумма по модулю 2”, или “исключающее или”) Å.

7. Штрих Шеффера (логическое “и-не”) |.

8. Стрелка Пирса (логическое “или-не”) ¯.

Операции сведены в таблицу:

Соглашение о старшинстве некоторых операций (по силе связывания):

ù, &, Ú, ®, «.