Функции Случайных Величин

Пусть задана СВ Х и числовая функция , определяющая на Х
СВ Y=g(X).
(1) Если X - ДСВ {X={x_i};P_X={p(x_i}},СВ Y=g(X) определена как событие на Х:
, является ДСВ и её математическая модель имеет вид:

{{y_k}; {P(y_k)= }}

Пример. g(x)=x²

X={Xi}	p(xi)	Y={yk}	p(yk)	(yk)2
-3	0.1		0.2
-2	0.2		0.4
-1	0.1		0.2
	0.2		0.2
	0.1	MY=3.6		MY2= 22.8 DY= 9.84 σY ≈ 3.137
	0.2
	0.1
MX=0

(2) Пусть НСВ X задана плотностью f(x) илифункцией распределения F(x)

,
и - строго монотонная числовая функция.

Требуется найти плотность f_Y(y) и функцию распределения F_Y(y) СВ Y=g(X).

По определению

Пример Найти функцию F_Y (y), плотность f_Y (y) распределения и числовые характеристики
СВ Y= g(x)=e^-Х, если

è

Утверждение 1
Если функция g имеет обратную g^-1 , то плотность распределения СВ Y=g(X) находится по формуле:

f_Y(y)=|(g^-1(y))’|∙ f_X(g^-1(y)) (1)

Для

Утверждение 2
Если функция является кусочно монотонной – имеет обратные функции на интервалах монотонности , плотность распределения СВ Y=g(X) находится по формуле:

(2)

è Функция y=g(x)=x² имеет две обратные: . Плотность распределения СВ Y=g(X)=X² находится по формуле:

=============================================

ИДЗ-4 «Функции случайной величины»
Задание. Используя результаты ИДЗ-3 для НСВ Х, найти плотность, функцию распределения и вычислить числовые характеристики СВ Y=e^-X.