Занятие 1. Понятие рекурсии

Рекурсия (от латинского recursio - возвращение) – это такой способ организации вычислительного процесса, при котором процедура или функция в ходе выполнения составляющих ее операторов обращается сама к себе.

Для того, чтобы такое обращение не было бесконечным, в тексте подпрограммы должно быть условие, по достижению которого дальнейшего обращения не происходит. таким образом, рекурсивное обращение может включаться только в одну из ветвей подпрограммы.

В языке Паскаль нет никаких ограничений на рекурсивные вызовы подпрограмм, необходимо только понимать, что каждый очередной рекурсивный вызов приводит к образованию новой копии локальных объектов подпрограммы и все эти копии, соответствующие цепочке активизированных и не завершенных рекурсивных вызовов, существуют независимо друг от друга

Рекурсия достаточно широко применяется в программировании, что основано на рекурсивной природе многих математических алгоритмов. А также Вы должны знать, что любой рекурсивный алгоритм можно преобразовать в эквивалентный итеративный (то есть использующий циклические конструкции).

В больших и сложных программах иногда приходится заменять рекурсию на итерацию. Дело в том, что рекурсия связана с многократными вызовами процедур, а это несколько менее эффективно при выполнении по сравнению с использованием циклов. Однако рекурсивные версии программ, как правило, гораздо короче и нагляднее.

Хорошей иллюстрацией механизма рекурсии является функция для вычисления факториала натурального числа. Вспомним, что факториалом числа называется произведение всех натуральных чисел от 1 до этого числа включительно:

N! = 1*2*3*... *(N-2)*(N-1)*N

1! = 1

0! = 1

Сначала покажем обычную не рекурсивную функцию для вычисления факториала, которая реализует итеративный алгоритм вычисления:

Function NonRecFact(N:integer): LongInt;

Var

i: integer; {переменная цикла }

Res: LongInt; {результат}

Begin

Res:= 1;

for i:= 1 to N do

res:= Res*i;

NonResFact:= Res;

End;

Вторая функция использует рекурсивные обращения, что делает ее гораздо компактнее, и основана на очевидном соотношении:

N! = (N-1)!*N

Иными словами, чтобы получить значение факториала от числа N, достаточно умножить на N значение факториала от предыдущего числа:

Function RecFact(N:integer): LongInt;

Begin

if N <= 1

then

ResFact:= 1

else

ResFact:= N* ResFact(N-1);

End;

Полностью программа, вычисляющая факториал числа, будет выглядеть так:

Program Rekurs;

Var

N: integer;

F: Longint;

{- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -}

Function RecFact(N:integer): LongInt;

Begin

if N <= 1

then

ResFact:= 1

else

ResFact:= N*ResFact(N-1);

End;

{- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -}

Begin

writeln('Введите число N > ';

read(N);

F:= RecFact(N);

writeln('Для числа ',N,' значение факториала равно ',F);

End.

После запуска программы на экран выводится запрос "Введите число N > ", затем с клавиатуры считывается введенное значение и в выражении F:=RecFact(N) вызывается функция RecFact с параметром-значением N. В подпрограмме-функции проверяется условие N<=1. Если оно выполняется, то функции ResFact присваивается значение 1 и на этом выполнение подпрограммы завершается. Если условие N<=1 не соблюдается, то выполняется вычисление произведения N*ResFact(N-1). Вычисление произведения носит рекурсивный характер, так как при этом осуществляется вызов функции ResFact(N-1), значение которой вычисляется, в свою очередь, через вызов функции ResFact, параметром которой также будет функция ResFact, и т.д., до тех пор пока значение формального параметра N не будет равно 1. Так как базовая часть описания рекурсивной функции ResFact определяет значение ResFact для N=1, равным единице, то рекурсивные вызовы функции ResFact больше не выполняются, а наоборот выполняется вычисление функции ResFact для чисел, возрастающих от 1 до N, причем функция ResFact всякий раз возвращает значение, равное произведению очередного числа на факториал от предыдущего числа. Последнее возвращение результата вычисления функции ResFact присвоит переменной F значение произведения всех чисел от 1 до N, т.е. факториал числа N.

Итак, при выполнении рекурсивной подпрограммы осуществляется многократный переход от некоторого текущего уровня организации алгоритма к нижнему уровню последовательно до тех пор, пока не будет получено тривиальное решение поставленной задачи. В нашем примере решение при N=1 тривиально, т.е. ResFact=1. Затем осуществляется возврат на верхний уровень с последовательным вычислением значения функции ResFact.

Задание. Введите текст рассмотренной выше программы и запишите файл на диск под соответствующим именем, а затем откомпилируйте его. После того, как компиляция закончится успешно, задайте для просмотра в окне отладчика переменные N, F. Установите видимыми одновременно окна редактора с текстом программы и окно просмотра. Исполните программу в пошаговом режиме с заходом в функцию и пронаблюдайте за изменением значения переменной N при рекурсивных вызовах функции ResFact.

Задание. Напишите программы, демонстрирующие выполнение рекурсивного и итеративного алгоритма для задач:

1. На печать выводится сказка “О попе и его собаке” определенное число раз. ("У попа была собака, он ее любил. Она съела кусок мяса – он ее убил. В землю закопал, надпись написал...)

2. Напишите рекурсивный алгоритм нахождения степени числа.

ах=ах-1*а, а0=1