Интервальный ряд с интервалами, изменяющимися в геометрической прогрессии

Интервальный ряд с интервалами, возрастающими в геометрической прогрессии: ширина каждого последующего интервала i_i+1 больше предыдущего i_i в определенное число раз g (знаменатель геометрической прогрессии).

i_i+1 = i_i *g

В этом случае размах вариации

R = верхняя граница последнего интервала – нижняя граница первого интервала

будет равен сумме первых n членов геометрической прогрессии

R= ,

где m – количество интервалов, g – знаменатель прогрессии,
i₁– ширина первого интервала, i_m – ширина последнего интервала.

Используя эти формулы, можно определить ширину первого интервала и знаменатель прогрессии.

Интервальный ряд с интервалами, убывающими в геометрической прогрессии: ширина каждого последующего интервала i_i+1 меньше предыдущего i_i в определенное число раз g (знаменатель геометрической прогрессии).

i_i+1 = i_i /g

В этом случае размах вариации

R = верхняя граница последнего интервала – нижняя граница первого интервала

будет равен сумме первых n членов геометрической прогрессии

R= ,

Используя эти формулы, можно определить ширину первого интервала и знаменатель прогрессии.

Внимание!

Полигон распределения частот, гистограмма строятся также с использованием абсолютной плотности распределения вместо частоты и относительной плотности распределения вместо частости.

Абсолютная плотность распределения (р) представляет собой величину частоты, приходящейся на единицу размера интервала отдельной группы ряда:

р = f / i.

Мода для интервального вариационного ряда с неравными интервалами осуществляется по уже известной формуле, только вместо показателей частот f используются показатели плотности распределения p, которые обеспечивают сопоставимость неравных интервалов.

где:

1. — значение моды

2. — нижняя граница модального интервала

3. i —ширина интервала (верхняя граница интервала – нижняя граница)

4. p_m — абсолютная плотность распределения модального интервала

5. p_m_-1 — абсолютная плотность распределения интервала, предшествующего модальному

6. p_m₊₁ — абсолютная плотность распределения интервала, следующего за модальным

ПРИМЕР

Рассмотрим пример построения ряда с неравными интервалами.

Исходные данные приведены в таблице

Название компании	объем реализации, млн.руб.
Микротест	5,7
Открытые технологии	6,9
КРОК
НТ Компьютер	9,7
Верисел	11,6
Техносервис	15,2
IBS	16,3
Ланит	17,2
НКК	22,7
Ситроникс

Для построения интервального ряда с равными интервалами рассчитаем:

эффективное число групп	4,322
округляем эффективное число групп до целого большего
максимальное значение
минимальное значение	5,7
.i (ширина интервала)	4,26

Если взять ширину интервала 4, то получится следующий ряд:

номер интервала	нижняя граница	верхняя граница

Полученные интервалы не включают в себя все значения. Следовательно, берем ширину интервала, равную 5.

Получаем интервальный ряд:

номер интервала	нижняя граница	верхняя граница	частоты





ИТОГО

Строим полигон распределения частот и гистограмму распределения частот:

Видно, что распределение компаний по интервалам неравномерное, линия полигона распределения частот зигзагообразная, имеются малочисленные интервалы.

Поэтому построим несколько вариантов ряда с неравными интервалами и выберем лучший.

1) Построим равночастотный квинтильный интервальный ряд:

нижняя граница	верхняя граница	частоты	ширина интервала	Абсолютная плотность распределения
(1)	(2)	(3)	(2-1)=(4)	(5)=(3/4)
				1,000
				0,667
				0,333
				1,000
				0,222

Проблема не решена – зигзаги сохраняются

2) Строим ряд с произвольными интервалами, в которых коэффициент вариации не превышает 20%.

интервал	частота	V
0-8		0,189419
8-16		0,187466
16-24		0,151005
24-32

3) Строим ряд с интервалами, возрастающими в арифметической прогрессии

i_i+1 = i_i + a

ширина первого интервала – 3, а=1,

номер интервала	нижняя граница	верхняя граница	ширина интервала	частота	абсолютная плотность распределения
(1)	(2)	(3)=(2+4)	(4)	(5)	(6)=(5/4)
					0,250
			4=3+1		0,250
			5=4+1		0,118
			6=5+1		0,087
			7=6+1		0,033

4) Построим ряд с интервалами, убывающими в арифметической прогрессии

i_i+1 = i_i - a

номер интервала	нижняя граница	верхняя граница	ширина интервала	частота	абсолютная плотность распределения
(1)	(2)	(3)=(2+4)	(4)	(5)	(6)=(5/4)
					0,417
					0,167
					0,043
					0,037
					0,000

5) Построим ряд с интервалами, возрастающими в геометрической прогрессии

i_i+1 = i_i * a

номер интервала	нижняя граница	верхняя граница	ширина интервала	частота	абсолютная плотность распределения
(1)	(2)	(3)=(2+4)	(4)	(5)	(6)=(5/4)
					0,286
					0,182
					0,211
					0,057

6) Построим ряд с интервалами, убывающими в геометрической прогрессии

i_i+1 = i_i / a

номер интервала	нижняя граница	верхняя граница	ширина интервала	частота	абсолютная плотность распределения
(1)	(2)	(3)=(2+4)	(4)	(5)	(6)=(5/4)

					0,381
					0,069
					0,000
					0,000

Итак, наиболее плавная линия полигона распределения частот, получается при построении ряда с интервалами, возрастающими в арифметической прогрессии, и в ряде с произвольными интервалами (у нас получились равные). Эти ряды и нужно использовать для дальнейших расчетов.

Но какой именно? На этот вопрос поможет ответить эмпирическое корреляционное отношение. Нужно использовать ряд с максимальным эмпирическим корреляционным отношением.

а) Рассчитаем эмпирическое корреляционное отношение для ряда с произвольными интервалами

группа	Компания	объем реализации, млн.руб.	дисперсия по группе	частота группы
(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(4*5)
0-8	Микротест	5,7	0,3600		0,7200
	Открытые технологии	6,9
8-16	КРОК		5,7819		23,1275
	НТ Компьютер	9,7
	Верисел	11,6
	Техносервис	15,2
16-32	IBS	16,3	8,0022		24,0067
	Ланит	17,2
	НКК	22,7
	Ситроникс		0,0000		0,0000
	Итого				47,8542

	общая дисперсия		43,0041
	случайная дисперсия		4,7854
	факторная дисперсия		38,2187
	эмпирическое корреляционное отношение	0,9427

б) Рассчитаем эмпирическое корреляционное отношение для ряда с неравными интервалами

группа	Компания	объем реализации, млн.руб.	дисперсия по группе	частота группы
(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(4*5)
5-8	Микротест	5,7	0,3600		0,7200
	Открытые технологии	6,9
8-12	КРОК		1,2067		3,6200
	НТ Компьютер	9,7
	Верисел	11,6
12-17	Техносервис	15,2
	IBS	16,3	0,3025		0,6050
17-23	Ланит	17,2
	НКК	22,7	7,5625		15,1250
23-30	Ситроникс		0,0000		0,0000
	Итого				20,0700

	общая дисперсия		43,0041
	случайная дисперсия		2,0070
	факторная дисперсия		40,9971
	эмпирическое корреляционное отношение	0,9764