Закон Стефана – Больцмана и законы Вина

На основе анализа экспериментальных данных физики предприняли ряд попыток получить теоретически вид функции . Исходя из термодинамических соображений, Стефан (1879 г.) и Больцман (1884 г.) получили для энергетической светимости абсолютно черного тела следующее соотношение:

(6.40.12)

где 5,7∙10^-8Вт/(м²∙К⁴) – постоянная Стефана – Больцмана. Соотношение (6.40.12) между энергетической светимостью абсолютно черного тела и его температурой получило название закона Стефана – Больцмана: энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры.

Воспользовавшись электромагнитной теорией, Вин (1893 г.) установил зависимость длины волны , на которую приходится максимум функции _, от температуры:

(6.40.13)

где 2,9∙10^-3 м∙К. Соотношение (6.40.13) носит название закона смещения Вина: длина волны, на которую приходится максимум испускательной способности абсолютно черного тела, обратно пропорциональна абсолютной температуре. Закон смещения Вина объясняет, почему при понижении температуры нагретых тел в их спектре все сильнее преобладает длинноволновое излучение.

Второй закон Вина определяет зависимость максимального значения спектральной плотности излучательности от температуры:

(6.40.14)

где 1,29∙10^-5Вт/м³∙К⁵.

Формулы Рэлея – Джинса и Планка

Д.Рэлей и Д.Джинс применили к тепловому излучению методы статистической физики и закон равнораспределения энергии по степеням свободы. Формула Рэлея – Джинса для спектральной плотности излучательности абсолютно черного тела имеет вид:

(6.40.15)

где – постоянная Больцмана. В зависимости от частоты выражение для спектральной плотности излучательности абсолютно черного тела принимает вид:

(6.40.16)

. (6.40.17)

Формула Рэлея – Джинса хорошо согласуется с экспериментальными данными только в области длинных волн (малых частот) и больших температур. В области коротких волн она расходится с экспериментом.

Интегри рование выражения (6.40.12) с учетом (6.40.15) дает для энергетической светимости бесконечно большое значение, что противоречит закону Стефана – Больцмана. Этот результат получил название «ультрафиолетовой катастрофы». На рисунке приведено сравнение экспериментальной зависимости с кривой, пстроенной по формуле Рэлея – Джинса.

В 1900 г. М.Планк нашел вид функции или . Он сделал предположение противоречащее классическим представлениям: предположил, что электромагнитное излучение испускается не непрерывно, а в виде отдельных порций энергии (квантов), величина которых пропорциональна частоте излучения:

(6.40.18)

где 6.62∙10^-34Дж∙с и 1,054∙10^-34Дж∙с – постоянные Планка. (Постоянную Планка иногда называют квантом действия). Тогда энергия , излучаемая на частоте , должна быть кратна величине (6.40.18):

. (6.40.19)

Согласно распределению Больцмана вероятность , того, что энергия излучения имеет величину , равна:

(6.40.20)

Используя вероятностный подход, М.Планк для спектральной плотности излучательности абсолютно черного тела получил следующие формулы:

(6.40.21)

(6.40.22)

(6.40.23)

Формулы Планка точно согласуются с экспериментом во всем итервале частот от 0 до (соответственно, во всем итервале длин волн). В случае малых частот (больших длин волн), когда << 1, формула Планка переходит в формулу Рэлея – Джинса. Если в формулу (6.40.12) для энергетической светимости абсолютно черного тела подставить выражение (6.40.21), то получим закон Стефана – Больцмана:

(6.40.24)

Из соотношения (6.40.24) получается значение постоянной Стефана - Больцмана, хорошо согласующееся с экспериментальным значением. Дифференцируя выражение (6.40.21) по можно получить значение постоянной в законе смещения Вина (6.40.13), совпадающее с экспериментальным значением: