Сравнение теоретических и эмпирических законов распределения радиусов выпуклых и вогнутых кривых

При обследовании дорог радиусы вертикальных кривых определяли по формуле (2.3).

Методика измерений описана выше.

Установлено, что на дорогах низких категории строители часто
не разбивают вертикальные кривые, а прокладывают профиль дороги ломаными линиями или случайными (мгновенными) радиусами даже в том случае, когда вертикальные кривые в проектах предусмотрены. На дорогах I и II категорий вертикальные кривые обычно присутствуют, но большой разброс (вариация) радиусов кривых указывает на значительные отступления от проектных решений. Более того, вертикальные кривые продольного профиля могут быть запроектированы с одними радиусами, а построены с другими значениями радиусов вертикальных кривых, которые к тому же имеют значительный разброс относительно среднего значения. Всё это указывает на то, что необходимо в процессе приёмки дорог в эксплуатацию контролировать значения радиусов вертикальных кривых, а при проектировании продольного профиля необходимо указывать допуски на отклонения радиусов, которые должны выдерживаться при строительстве.

Для вывода формул теории риска, предназначенных для контроля качества автомобильных дорог в продольном профиле, необходимо определить законы распределения параметров исследуемых геометрических элементов. В данном случае это радиусы выпуклых и вогнутых кривых. Для установления фактических законов распределения радиусов вертикальных кривых были проведены натурные обследования автомобильных дорог Пензенской и Саратовской областей.

В табл. 2.4 приведен пример статистической обработки радиусов вогнутой кривой и показаны методы определения среднего значения и среднеквадратического отклонения радиусов.

– среднее значение радиуса вогнутой кривой

;

– среднеквадратическое отклонение

.

По методу суммирования

;

.

Таблица 2.4

Пример статистической обработки радиусов вогнутой кривой

Разряды интервалов радиусов кривой, м	Середина разряда, Um	Абсолютная частота, hm	Частичная сумма, Sm	Накопленная частота, T	Середина условного интервала, lm	Произведения
lm×hm
1000-2000					-3	-3
2000-3000					-2	-6
3000-4000					-1	-12
4000-5000	4500=
5000-6000
6000-7000
7000-8000	7500=
		n =141	М= 490			В =74		А =178

Примечание: интервал в разрядах радиусов кривой 1000м.

Применяя к данным табл. 2.4 мультипликативный метод, получаем:

В табл. 2.5 дан пример сравнения по критерию Пирсона c ² эмпирического распределения с теоретическим распределением.

Критерии Пирсона и Романовского основываются на сравнении фактического и теоретического количества частот исследуемого показателя в разрядах. Число разрядов должно быть не менее пяти, а фактическая частота в разряде не менее трех / /.

Вероятность P_i в табл.2.5 вычислялась по формуле Симпсона (2.11),

где ординаты y_i вычислены для соответствующих абсцисс х_i (см. табл. 2.5) по формуле

.

При сравнении с нормальным законом распределения применяли также формулу (2.12).

Из таблиц c² распределения выписываем вероятность соответствия фактического распределения радиусов вогнутой кривой нормальному закону Р_с = 0,35. Такое совпадение следует считать хорошим.

Для данных табл. 2.5 критерий Романовского R = 0,19, показывает хорошее соответствие законов.

Таблица 2.5

Сравнение эмпирического распределения радиусов

вогнутой кривой с законом нормального распределения

Разряды интервалов радиусов кривой, м	Абсолютная частота, hm	Вероятность попадания измерений в разряд, Pi	Теоретическое количество измерений в разряде (nT=Pi×n)
<1000		0,00003	0,00378	0,00378
1000-2000		0,00118	0,16543	4,21044
2000-3000		0,01993	2,78986	0,01583
3000-4000		0,13086	18,31977	2,18013
4000-5000		0,33808	47,33132	0,28436
5000-6000		0,34593	48,43063	1,51627
6000-7000		0,14021	19,62950	2,23899
7000-8000		0,02239	3,13172	0,24074
>8000		0,00139	0,19465	0,19465
	n= 140	1,00000		6,671

На рис. 2.8 показано сравнение гистограммы распределения радиусов вогнутой кривой с плотностью нормального распределения.

Рис. 2.8 Гистограмма распределения радиусов вогнутой кривой и плотность нормального распределения при R_ср = 5025м и s = 997м

Статистическую обработку радиусов выпуклых кривых выполняли теми же методами, что и статистическую обработку радиусов вогнутых кривых (см. табл. 2.4). Среднее значение радиуса (R_ср) и среднее квадратическое отклонение радиусов (σ_R) в пределах выпуклой кривой устанавливали мультипликативным методом и методом суммирования (см. описание к табл. 2.4).

В результате обследования 16 кривых (11 выпуклых и 5 вогнутых) оценки совпадения эмпирических распределений и нормального закона расположились следующим образом: 9 раза – удовлетворительно; 5 раза – хорошо; 2 раза – отлично.

Статистическая обработка обследованных вертикальных кривых показала, что эмпирические распределения хорошо согласуются с нормальным законом распределения. При проектировании вертикальных кривых, а также при обследовании существующих дорог можно использовать нормальный закон распределения случайных величин.

Обобщая результаты натурных обследований автомобильных дорог, приходим к выводу, что геометрическая составляющая теории риска должна базироваться на нормальном законе распределения.