2015-05-30
343
Непрерывная функция есть функция, которую можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги: у непрерывной функции нет скачков. Гладкая функция — это такая функция, у которой нет "изломов", или углов. Монотонная функция — функция, которая всегда возрастает или всегда убывает; положительная монотонная функция всегда возрастает с ростом x, в то время как отрицательная монотонная функция всегда убывает с ростом x.
П.4 Обратные функции
Как мы помним, функция обладает тем свойством, что для каждого значения x существует единственное связываемое с ним значение y и что монотонная функция есть функция, которая всегда возрастает или всегда убывает. Это означает, что для монотонной функции будет существовать единственное значение x, связываемое с каждым значением y.
Мы называем функцию, связывающую x c y подобным образом, обратной функцией. Если вам задан y как функция x, вы можете вычислить обратную функцию, просто выразив x как функцию y. Если y = 2 x, то обратная функция есть x = y /2. Если y = x 2, то обратной функции не существует; при любом y как x = +, так и x = — обладают тем свойством, что их квадрат равен y. Поэтому не существует единственного значения x, связываемого с каждым значением y, как того требует определение функции.
|
|
|
П.5 Уравнения и тождества
В уравнении как бы ставится вопрос о том, когда функция становится равной некоторому конкретному числу. Примерами уравнений являются
2 x = 8
x 2= 9
f (x) = 0.
Решением уравнения является значение x, удовлетворяющее данному уравнению. Первое уравнение имеет решение x = 4. Второе уравнение имеет два решения x = 3 и x = —3. Третье уравнение задано просто в общем виде. Мы не знаем его решения до тех пор, пока нам неизвестно конкретное правило, стоящее за f, но мы можем обозначить его решение через x *. Это просто означает, что x * есть такое число, что f (x*) = 0. Мы говорим, что x * удовлетворяет уравнению f (x) = 0.
Тождество есть взаимосвязь между переменными, которая справедлива для всех значений переменных. Вот некоторые примеры тождеств:
(x + y)2 x 2 + 2 xy + y 2
2(x + 1) 2 x +2.
Особый знак означает, что левая и правая части выражения равны для всех значений переменных. Уравнение справедливо только для некоторых значений переменных, в то время как тождество справедливо для всех значений переменных. Часто тождество справедливо по самому определению тех понятий, о которых идет речь.
