Кафедра Радиотехники

Министерство образования и науки Российской федерации

Федеральное агентство по образованию

Высшее профессиональное образование ГОУ

Саратовский государственный технический университет

Кафедра Радиотехники

ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ КОНТУРОВ.

Методические указания

к выполнению учебно-исследовательской лабораторной работы

по дисциплинам

«Радиотехнические цепи и сигналы»,

«Электронные цепи и микросхемотехника»

для студентов специальностей

200700 (Радиотехника) и 200400 (Электронные цепи и устройства).

Одобрено

редакционно-издательским советом

Саратовского государственного технического университета в 1993г.

Саратов 2006г.

Цель работы: теоретическое и экспериментальное исследование цепей.

1.ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.1Общие сведения

В настоящей работе исследуются некоторые разновидности колебательных контуров.

Одиночным колебательным контуром называется замкнутая электрическая цепь, состоящая из последовательно соединённых индуктивности (L), ёмкости (C) и активного сопротивления (R). Если конденсатор контура был предварительно заряжен, то в контуре возникают электромагнитные колебания, заключающиеся в поочерёдном преобразовании электрической энергии конденсатора W_с = в энергию магнитного поля индуктивности.

W_L = и наоборот, где

W_с – энергия электрического поля;

W_L – энергия магнитного поля;

U – напряжение на конденсаторе;

I – ток через индуктивность.

В общем случае любой колебательный процесс описывается уравнением:

m +2α +k =F, где

“m” - степень “сопротивления” системы внешним воздействиям (её инертность), для контура индуктивность (L).

“α”- степень замедления движения (колебательного) из-за необратимых потерь энергии, для контура активное сопротивление (R).

“k”- степень стремления к положению равновесия (возвращающая сила), для контура величина обратная ёмкости (1/C).

“F”- внешняя вынуждающая сила.

Колебания, происходящие в контуре без внешнего источника энергии (т. е. F=0), называется свободными (или собственными), при F 0 – вынужденными.

Основные параметры свободных колебаний определяются свойствами самой колебательной системы, кроме амплитуды, которая задаётся начальной энергией.

В соответствии с (1) уравнение свободных колебаний в одиночном контуре имеет вид

(2)

Его решение можно представить как

, (3)

где , , и

- константы, зависящие от начальных условий.

Таким образом, колебательный процесс носит периодический характер с периодом T= , причем его амплитуда убывает по времени по экспоненциальному закону. Если затухание мало , то период этого колебания определяется формулой

,

где ,

-резонансная частота;

- частота свободных колебаний.

В качестве меры затухания вводится величина , называемая логарифмическим декрементом затухания, которая связана с величиной σ следующим образом. Пусть t=nT, n=1,2…, тогда и следовательно,

= . (4)

В зависимости от величины колебания в контуре получаются слабо и сильно затухающими. Чем меньше R и больше L, тем меньше и соответственно и тем ближе выражения (3) к синусоиде с периодом .

При R , T и процесс становится апериодическим.

Подключая к контуру внешний источник энергии, можно полностью компенсировать потери энергии в контуре. Амплитуда колебаний при этом будет постоянной и принимает максимальное значение при резонансе , где частота внешней ЭДС.

При резонансе частота внешней ЭДС равна частоте свободных колебаний в контуре и реактивные сопротивления, входящие в состав контура, равны между собой.

(5)

называется волновым сопротивлением контура.

Подставим (5) в (4) и при T=T₀ запишем

= . (6)

Выражение (6) характеризует отношение энергии: в числителе – энергия израсходованной за половину периода на активные потери, в знаменателе – энергия, участвовавшая в колебательном процессе.

= .

Величина в раз меньше , называется затуханием контура (d)

d = . (7)

На практике более употребительна величина, обратная затуханию, называемая добротностью контура (Q)

Q = . (8)

В зависимости от способа включения внешнего источника ЭДС в контур его называют последовательным или параллельным.

В данной работе по указанию преподавателя предполагается для исследования один из трёх объектов: последовательный одиночный колебательный контур, параллельный одиночный колебательный контур, связанные колебательные контуры с трансформаторной (индуктивной) связью.

1.2 Одиночный последовательный колебательный контур.

Включим последовательный контур по схеме, приведенной на рис.1

Рис.1.

Для внешних цепей источника ЭДС (Е) с внутренним сопротивлением (Rг) и сопротивления нагрузки (Rн) контур представляет собой четырёхполюсник.

При условии и собственные параметры определяются только величинами R, L, C и не зависят от Rг и Rн.

Опишем основные параметры последовательного контура

- входное сопротивление (полное сопротивление контура);

- выходное сопротивление;

- реактивное сопротивление контура;

- индуктивное сопротивление;

- емкостное сопротивление;

. (9)

- обобщенная расстройка.

(10)

В радиотехнических устройствах обычно используются контуры с большой добротностью (Q>>1), поэтому частотные характеристики контуров (резонансные кривые) представляют практический интерес только при небольших расстройках ( <<1, , ), тогда можно представить в виде

= Q (11)

- абсолютная расстройка;

- относительная расстройка;

- амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);

- фазо-частотная характеристика (ФЧХ).

Ток в контуре можно выразить в виде

,

где Uг – напряжение на выходе генератора (внешнего источника ЭДС, Е).

Запишем уравнение Киргофа для напряжений на входе схемы, приведенной на рис.1.

(13)

Из (13) можно выразить передаточную функцию напряжения

(14)

где - АЧХ.

- ФЧХ.

При малых расстройках (, Q>>1) АЧХ можно выразить формулой

(15)

Резонансные характеристики (кривые) колебательного контура часто представляют следующим выражением:

(16)

Выражение (16) представляет обобщенную резонансную кривую

– значение =1 соответствует и соответственно = ₀

- при = , соответственно ,

где .

Колебательный процесс в последовательном колебательном контуре характеризуется следующими особенностями:

а) при , , тогда , поскольку ток через реактивные сопротивления и общий – это явление называют резонансом напряжений;

б) при , , т. е. напряжение на конденсаторе в Q раз больше напряжения подаваемого с генератора.

1.3 Одиночный параллельный колебательный контур.

Параллельный колебательный контур получается при включении внешнего источника ЭДС параллельно индуктивной и емкостной ветвям контура.

Рис.2а.

Рис.2б.

Исследуемый колебательный контур состоит из элементов R, L, C

- сопротивление индуктивной ветви;

- сопротивление емкостной ветви;

- сопротивление последовательного колебательного контура, где

R= обычно > и

- полное сопротивление параллельного колебательного контура (входное сопротивление)

- АЧХ

При частотах близких к резонансной () и Q>>1, полное сопротивление и АЧХ можно представить в виде

, - АЧХ

- ФЧХ

- резонансное сопротивление параллельного колебательного контура . Если учесть активные потери, то можно получить выражение:

,

где - резонансная частота параллельного колебательного контура;

- резонансная частота последовательного колебательного контура.

При замкнутом переключателе В1 комплексную передаточную функцию тока можно представить в виде (причем )

(18)

- АЧХ

(19)

- ФЧХ

Так же как и для последовательного контура АЧХ, можно приближенно представить:

, , (20)

т. к. , то передаточная функция напряжения

, (21)

т. е. изменения напряжений на входе и выходе колебательного контура не позволит построить резонансную кривую.

Рассмотрим колебательный контур, рассмотренный на рис. 2б, с включенным в его состав добавочным сопротивлением .(В1 - разомкнут).

При условии, что Rг<< коэффициент передачи имеет вид

, (22)

где - падение напряжения на контуре;

- напряжение на выходе эквивалентного источника (с внутренним

сопротивлением т. к. ).

При малых расстройках и выражение (22) можно переписать в виде

, (23)

где - АЧХ

- ФЧХ

Для обобщенной резонансной кривой получится

, (24)

где

или при малых расстройках

Здесь возможны три варианта

а) , и выражение (24) перепишется в виде

(25)

б) , ,

(26)

в) ,

(27)

Для построения резонансной кривой можно пользоваться формулами (25) или (24).

Колебательный процесс в параллельном контуре характеризуется двумя способами:

а) при и , , поэтому , а - это явление называется резонансом токов;

б) при , - это коэффициент передачи по току, то есть токи в ветвях контура в Q раз больше тока подводимого к контуру от источника ЭДС.

1.4. Связанные контуры.

Схема, состоящая из двух связанных контуров с трансформаторной (индуктивной) связью, приведена на рис.3.

При и любую из схем связанных контуров можно представить обобщенной схемой, приведенной на рис.4. Для этой схемы справедливы следующие соотношения:

(28)

где

, , (29)

а и сопротивление первого и второго контуров, измеренные в местах разрыва (крестики на рис.3.) при .

Из уравнения (28) можно найти полное сопротивление первого контура с учетом его связи со вторым контуром.

(30)

Уравнение (30) позволяет выяснить физический смысл влияния второго контура на первый (и по аналогии первого на второй).

Влияние второго контура через реактивный элемент связи

Может быть сведено к внесению в первый контур сопротивления .

Активная часть вносимого сопротивления учитывает потери энергии во втором контуре и определяет увеличение затухания системы связанных контуров по сравнению с затуханием первого контура без учёта второго. Реактивная часть вносимого сопротивления изменяет резонансные свойства системы по сравнению с резонансными свойствами первого контура. Как и в случае одиночных контуров, условием резонанса в связанных контурах является обращение в ноль входной реактивности цепи.

. (31)

Это уравнение третей степени относительно частоты и следовательно система связанных контуров может иметь до трёх резонансных частот.

Колебательные свойства системы связанных последовательных контуров могут быть исследованы с помощью схемы, приведенной на рис.3. Как в случае одиночных контуров, основной характеристикой является резонансная (обобщенная) характеристика любого контура из системы связанных контуров. Например, для второго контура системы её уравнение в общем виде может быть записано следующим образом:

, (32)

где

Таким образом, для изучения системы связанных контуров достаточно исследовать АЧХ четырёхполюсника с входным сигналом E и выходным сигналом .

Для простоты рассмотрим систему из двух одинаковых контуров и .

Для тока в первом контуре можно записать

(33)

С учетом (33) для второго контура получим

(34)

Для высокодобротных контуров , поэтому

и соответственно

(35)

Количественно связь между контурами оценивается с помощью коэффициента связи

(36)

Где и - величины, имеющие смысл коэффициента трансформации напряжения, соответственно из первого контура во второй и обратно

(37)

С учетом (36) и (37) можно записать в виде

R=M/L (38)

На практике более употребима величина, называемая параметром связи

(39)

С учетом (35) и (39) для коэффициента передачи получаем выражение

. (40)

Из (40) находим уравнение для АЧХ системы связанных контуров

(41)

Исследуем это уравнение

1) - критическая связь

При =0 АЧХ имеет один максимум

Полагая , находим обобщенную расстройку, соответствующую границам полосы пропускания . Следовательно, при полоса пропускания системы связанных контуров в раз больше, чем у одиночных контуров.

2) - слабая связь

АЧХ также имеет один максимум при =0.

Уравнение для полосы пропускания получается из условия ослабления сигнала в раз. , откуда . Следовательно при слабой связи, полоса пропускания системы связанных контуров уже, чем у одиночного контура.

3) - сильная связь.

При =0,

С увеличением , растет и достигает максимума при , а затем уменьшается, поскольку в большей мере начинает сказываться слагаемое . В результате получается двугорбая характеристика. Полосу пропускания здесь определяют по уровню впадины. При =2,41 уровни максимумов отличаются от уровня впадины раз. В этом случае , а . То есть полоса пропускания при этом оказывается в 3,1 раза больше, чем полоса пропускания одиночного контура.

2.ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ.

В работе используются:

1. Лабораторный стенд.

2. Генератор сигналов.

3. Электронный осциллограф.

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Получить у преподавателя инструкции по технике безопасности, методическую литературу, указания по типу исследуемых RLC – цепей и, необходимые для измерений, соединительные провода.

2. Ознакомиться с измерительными приборами, включенными в состав установки по кратким описаниям или инструкциям.

3. Ознакомиться с лабораторным стендом по электрической схеме, изображенной на его лицевой панели, и инструкции по эксплуатации, собрать или включить заданную цепь.

4. Включить приборы в сеть и дать им прогреться 3-5 минут.

Для закрепления навыков работы с приборами, соединить выход генератора со входом осциллографа и провести в соответствии с инструкцией 3-4 измерения напряжений с помощью осциллографа, изменяя частоту и выходное напряжение генератора.

5. Получить у преподавателя допуск к работе, показав умение в обращении с приборами, правильность сборки (или включения) схемы на стенде, знакомство с основными теоретическими положениями данной работы.

6. Подключить приборы к стенду и провести измерения в соответствии с методиками, изложенными в п.4.

7. Выключить установку, разобрать схему, сдать преподавателю методическую литературу, инструкции, описания приборов и соединительные провода.

4. МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ.

4.1. Одиночные колебательные контура.

1. Подать на вход цепи гармонический сигнал

а) изменяя частоту генератора при неизменной амплитуде, снять АЧХ, изменяя выходное напряжение с помощью осциллографа (10-12 измерений);

б) снять ФЧХ для тех же значений частоты.

2. Подать на вход цепи сигнал типа «меандр»

а) получить сигнал на выходе контура при частоте исследования, равной резонансной частоте (), измерить его амплитуду и длительность;

б) провести те же измерения при частоте исследования большей или меньшей частоты (количество измерений и степень отличия по частоте указывается преподавателем).

3. Построить АЧХ и ФЧХ на миллиметровке.

4. Зарисовать структуру сигналов на входе и выходе цепи для п.1.2

4.2 Связанные колебательные контура.

4.2.1. Измерить зависимость параметра связи (k) от расстояния между катушками (l) следующим образом:

1. Подключить осциллограф к конденсатору первого контура (C1)

и при максимальном расстоянии между катушками (минимальной связи) настроить генератор в резонанс с первым контуром.

2. Подключить второй канал осциллографа на выход второго контура (конденсатор С2).

3. При минимальной связи настроить второй контур в резонанс с частотой генератора и если необходимо подстроить первый контур. Таким образом, каждый контур в отдельности будет настроен на частоту генератора, что соответствует полному резонансу в системе связанных контуров.

4.Проверить качество настройки системы в резонанс: при изменении частоты генератора на 3-5 делений вправо и влево от частоты , спад напряжения (измеренного по осциллографу) должен быть примерно одинаковым.

5. Уменьшая расстояние между катушками, найти критическую связь.

6. Изменяя расстояние между катушками снять зависимость при постоянных значениях .

7. Найти расстояние соответствующее критической связи и расстояние соответствующее 0,707 при связи больше или меньше критической.

4.2.2. Снять резонансные кривые при постоянных и и трех значениях параметра связи <1, =1, =2,41. По результатам измерений определить .

5. РАСЧЕТНОЕ ЗАДАНИЕ

1. Рассчитать основные параметры контура () по заданным (или измеренным) параметрам (L, С, R) и сравнить с экспериментальными данными.

2. Рассчитать передаточную характеристику заданной цепи, а так же АЧХ и ФЧХ и сравнить с результатами эксперимента.

3. Построить резонансные кривые и сравнить с экспериментом.

4.Оценить влияние добавочного сопротивления () на резонансные кривые.

5. Оценить влияние нагрузки () на избирательные свойства параллельного контура.

6. Проанализировать прохождение заданных гармонического и импульсного сигналов через цепь и сравнить с результатами эксперимента.

7. Для различных значений параметра связи рассчитать резонансные кривые и сравнить с экспериментальными данными.

8. Оценить погрешность измерений и объяснить расхождение экспериментальных и теоретических данных.