Примеры решения задач. Пример 2. Доказать что Û Û Û

Пример 2. Доказать что Û Û Û .

Решение. Для доказательства 12 указанных утверждений достаточно доказать любую замкнутую цепочку из четырех утверждений вида

Доказательство.

а) Þ .

б) Þ .

по определению объединения множеств;

А È В = В.

в) Þ .

по определению пересечения множеств;

АВ = А.

г) Þ .

противоречие

д) Þ

Пример 3. Верны ли следующие рассуждения? Проиллюстрировать обоснование истинности (ложности) этих рассуждений диаграммами Венна.

а) Если А, В, С – такие подмножества универсума U, что АВ и А È С Í В, то АС = Æ.

Пояснение. Условия АВ и А È С Í В называются посылками или допущениями. Вывод АС = Æ называется заключением или следствием из данных посылок. Совокупность посылок и заключения называется рассуждением. Если можно привести хотя бы один пример (в частности, построить диаграмму Венна), в котором посылки истинны, а заключение ложно, то рассуждение считается неверным.

Решение. В данном случае опровергнуть рассуждение невозможно, строгое доказательство справедливости рассуждения написано под диаграммой (рис. 2)

Æ.

Рис.2

б) Если А, В, С – такие подмножества универсума U, что и то В = Æ.

Решение. Диаграмма Венна приведена на рис.3. Рассуждение ложно.

Рис. 3

Пример 4. Из 100 студентов английский язык знают 28 человек, немецкий – 30, французский – 42, английский и немецкий – 8, английский и французский – 10, немецкий и французский – 5, все языки знают 3 человека. Сколько человек не знают ни одного языка? Сколько человек знают в точности два языка? Сколько человек знают английский или французский языки, но не знают немецкий?

Решение. Построим диаграмму Венна (рис. 4.). Универсум U – это множество всех студентов, A ₁ - множество студентов, знающих английский язык; A ₂ - множество студентов, знающих немецкий язык; A ₃ - множество студентов, знающих французский язык. Области в общем случае разбивают прямоугольник универсума на 8 областей. Внутри каждой области записано число элементов, лежащих в этой области (мощность соответствующего множества). Известно, что

Нужно найти , , .

Рис. 4

; ; .