Одна задача

Подразумевается, что ученики знают все аксиомы, теоремы, свойства и формулы планиметрии и могут их использовать при решении задач в любой очерёдности вне зависимости от порядка их изучения.

По данной задаче полагаем, что все знают, что и внутренний угол правильного шестиугольника равен 120°. Эти факты в большей или меньшей степени мы использовали в разных способах решения задачи.

Ещё оговоримся, что доказательства очевидных фактов мы проводить не будем. Для простоты расчётов будем использовать следующий известный факт.

	Если у прямоугольного треугольника с углом в 30° меньший катет обозначить через а, то гипотенуза будет 2а, катет равен .
	И наоборот. Если гипотенуза – с, то меньший катет – , а больший катет – .
	А вот если известен больший катет – b, то меньший катет равен , а гипотенуза равна .

Рассмотрим разные способы решения одной задачи.

1. Формула связи стороны правильного треугольника и радиуса описанной около него окружности
	Проведём отрезки AE и CE. Получим правильный AEC. Имеем . Откуда или . В дальнейшем ответ будем получать в виде .
2. Свойство пересечения медиан равностороннего треугольника
	В ACE проведём медиану CM=m. . В ACM ACM=30°, AM=5, m= CM= ,
3. Равносторонний треугольник
	Проведём отрезок ВО. Рассмотрим ВОС – равносторонний. СМ= 5, , .
4. Равнобедренный треугольник
	Рассмотрим АСО - равнобедренный. Проведём высоту ОК. Проведём ОА. КАО= 30°, ,
5. Прямоугольный треугольник
	Проведём АD. АСD - прямоугольный. CAD=30°, .
6. Теорема Пифагора
	В ACD, С= 90°. Обозначим CD= х, тогда AD= 2x. По теореме Пифагора имеем , , , , х . Значит, .
7. Прямоугольник
	Соеденим AF, FD, OD. ACDF – прямоугольник. Опустим перпендикуляр из точки О на сторону АС. COD - правильный, ОСМ= 30°. МС= 5 см, .
8. Свойство диагоналей прямоугольника
	ADCF – прямоугольник. AD и CF – диагонали прямоугольника. Введём переменную х. AO=OD=OC=OF=AF=CD=х, AD=2х, CF=2х. Используем свойство диагоналей прямоугольника. Составим уравнение. .
9. Ромб
	Соединим А и О. АВСО – ромб. Рассмотрим СОН, НС=5, .
10. Свойства диагоналей ромба
	АВСО – ромб. Проведём диагонали АС и ВО. Пусть АВ=ВС=СО=АО=ВО=х. Тогда х2+х2+х2+х2=102+х2,
11. Равнобедренная трапеция
	ABCD – равнобедренная трапеция. CN – высота трапеции. CAN=30o, CN=5. Пусть CD=x, тогда ACN – прямоугольный. Имеем
12. Прямоугольная трапеция
	Проведём AD. АВСК – прямоугольная трапеция. BL – высота трапеции. В АСК В ABL BC=LK=x. AL+LK=AK. .
13. Метод площадей. Ромб
	ABCO – ромб. Приравняем правые части:
14. Метод площадей. Треугольник
	Рассмотрим АВО. АВ=АО=ВО=х. В АОК АК=5, КО=х/2.
15. Метод площадей. Прямоугольник
	ACDF – прямоугольник, CD=x. CO=OD=x. (равновеликие треугольники).
16. Метод площадей. Шестиугольник
	. ABCO, CDEO, AFEO – равные ромбы. . .
17. Тригонометрический метод
	– прямоугольный.
18. Теорема косинусов
	– равнобедренный. , .
19. Теорема синусов
	Из теоремы синусов имеем В
20. Метод подобия
	– прямоугольный. СК – высота, проведенная на гипотенузу. Из . В СD=x, . .
21. Радиус описанной окружности около треугольника
	Рассмотрим . АС=СЕ=АЕ=10. По формуле находим R6. .
22. Радиус вписанной окружности в треугольник
	В впишем окружность с радиусом r. . . . .
23. Метод координат. Длина отрезка
	Через точки А и D проведем ось Ох. Чрез точку О перпендикулярно оси Ох проведем ось Оу. Из АСХ имеем СХ=5. Из ОСХ имеем . Значит, точка С имеет координаты .
24. Метод координат. Середина отрезка
	Через точки А и D проведем ось Ох. Чрез точку А перпендикулярно оси Ох проведем ось Оу. Точка С имеет координаты , а точка F –. . Найдем координаты точки О – середины отрезка CF, заданного координатами концов. . Длина отрезка АО равна абсциссе точки О, т.е. .
25. Векторный метод
	Через точки А и D проведем ось Ох. Чрез точку А перпендикулярно оси Ох проведем ось Оу. Рассмотрим , , . + = (по правилу треугольника) , , = , = . По правилу параллелограмма: = + = = , , Можно найти по формуле = ,