П.3. Операции над множествами

После того, как мы научились составлять и различать множества, можно приступить к определению и других операций над ними.

Естественно, что два множества могут иметь одинаковые элементы (их можно выделить в отдельное множество), из всех элементов двух множеств можно составить одно новое множество, также можно рассмотреть отдельно элементы одного множества, которых во втором множестве нет.

Например, А – множество наклеек (марок), которые есть у Пети, В – множество наклеек, которые собрал Вася. Можно выделить множество наклеек, которые есть у обоих ребят; коллекцию различных наклеек, собранных ими вместе; множество наклеек Пети, которых нет у Васи.

Таким образом, мы проделали операции пересечения, объединения и разности двух множеств.

Опр.3.1 Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из данных множеств: С={х |х А и х В}. Обозначается, А∩В.

Опр. 3.2 Объединением множеств А и В называется множество С, которое состоит из всех элементов данных множеств А и В и только из них: С={х |х А или х В}. Обозначается, А В.

Естественно поставить вопрос о нахождении числа элементов в объединенном множестве С. Если множества А и В не содержат одинаковых элементов, т.е. не пересекаются (А∩В= Ø), то

m (А В) = m (A) + m (B) (1).

В противном случае, когда множества имеют m (А∩В) одинаковых элементов, следует пользоваться более общей формулой:

m (А В) = m (A) + m (B) - m (А∩В) (2).

Опр.3.3 Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В: С={х | х А и х В}. Обозначается, А\В.

В случае, когда В является подмножеством А, т.е. В А, разность А\В называется дополнением множества В до множества А (или относительно множества А).

Опр.3.4. Симметричной разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В и всех элементов множества В, не принадлежащих множеству А: С={х | (х А и х В) или (х В и х А) }. Обозначается, А∆ В

В каждом отдельном случае мы рассматриваем (изучаем и пр.) всевозможные подмножества одного и того же множества. Например, в начальной школе дети учатся работать (выполнять основные арифметические операции) сначала с числами из первого десятка натуральных чисел, затем из первой сотни и т.д. Но их действия не выходят за рамки натуральных чисел (отрицательные и дробные числа они будут проходить позже). Аналогично, учитель может работать с некоторыми группами учеников, которые будут являться подмножествами определенного множества обучаемых данным учителем школьников. Каждый человек носит различные комбинации вещей, но только из своего личного гардероба. Это основное множество (свое в каждом отдельном случае) называется универсальным множеством.

Опр.3.5 Универсальным множеством называется множество, подмножества которого (и только они) в данный момент рассматриваются. Обозначают, U (или Е, D в разной литературе).

При работе с числовыми множествами, если не дается дополнительных указаний, в качестве основного (универсального) множества будем считать множество R действительных чисел.

Опр.3.6 Дополнением множества А называется разность U \А. Обозначается, А’ или и читается «не-А». Иначе, дополнением множества А называется множество А’ или , состоящее из всех элементов, не принадлежащих множеству А.

Теперь укажем основные свойства изученных выше операций

над множествами:

Свойства операции пересечения: 1) А∩А=А; 2) А∩Ø= Ø; 3) А∩А’= Ø; 4) А∩ U =А; 5) А∩В=В∩А.	Свойства операции объединения: 1) А А=А; 2) А Ø =А; 3) А А’= U; 4) А U = U; 5) А В=В А.
Свойства операции разности: 1) А\А= Ø; 4) А\ U = Ø; 2) А\ Ø =А; 5) U \А=А’; 3) А\А’=А; 6) Ø \А= Ø; 7) А\В ≠ В\А.