Функция распределения

Функцией распределения F(x) называется вероятность того, что случайная величина x примет значение меньше x, где x– любое действительное число,

F(x) = р (x < х), где - ¥ < х < ¥

Свойства функции распределения:

1. 0 £ F(x) £ 1

2. При х - ¥ F(x) 0

3. При х + ¥ F(x) 1

4. Вероятность попадания случайной величины в произвольный интервал действительной оси [x ,x ] определяется формулой

р(х₁ £ x < х₂) = F (х₂) – F (х₁)

Докажем это свойство. Для этого рассмотрим событие (x < х₂). Очевидно, что это событие можно записать в виде суммы:

(x < х₂) = (х₁ £ x < х₂) + (x < х₁), используя формулу сложения для несовместных событий, получим

р(x < х₂) = р(х₁ £ x < х₂) + р(x < х₁), откуда следует

F (х₂) = р(х₁ £ x < х₂) + F (х₁) или р(х₁ £ x < х₂) = F (х₂)- F (х₁).

5. Функция распределения F (х) – неубывающая функция на всей оси Ох, т.е.

если х₂ > х_1, то F (х₂) ³ F (х₁).

Действительно, пусть х₂ > х₁ , в пункте 5 показано, что для F (х₂) справедливо равенство

F (х₂) = р(х₁ £ x < х₂) + F (х₁), а так как р(х₁ £ x < х₂) 0, то отсюда следует,

что F (х₂) ³ F (х₁).

6. Функция распределения непрерывна слева , т.е.

.

Зная закон распределения дискретной случайной величины, можно вычислить функцию распределения по формуле

F (x) = ,

где суммирование распространяется на все те значения индекса i, для которых

.

Пример 12. Построить функцию распределения для случайной величины, рассмотренной в Примере 11. Поскольку функция F(x) определена для всей действительных значений x, то рассмотрим последовательно интервалы:

1. х Î (- ∞; 0], F (x) = р(x < x) = 0, так как событие (x < x) на данном интервале является невозможным событием.

2. х Î (0; 1], F (x) = р(x = 0) = 1/4, здесь неравенству x < x удовлетворяет одно значение x = 0.

3. х Î (1; 2], F (x) = р(x = 0) + P (x = 1) = 1/4 + 1/2 = 3/4,здесь неравенству x < x удовлетворяют два значения x = 0 и x = 1.

4. х Î (2; ∞) F (x) = P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2) = 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1, на

этом интервале неравенству x < x удовлетворяют все значения случайной величины. Таким образом,

F(x) =

График вычисленной функции приведен на Рис.7.

Рис. 7.

Квантилью порядка р распределения случайной величины x непрерывного типа называется действительное число x , удовлетворяющее уравнению р = р