Плотность распределения

Плотность распределения вероятностей f(x) характеризует вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал. Эта вероятность равна

площади, заключенной между осью абсцисс и функцией f(x) на интервале

(Рис.8). Функция f(x) = .

Рис. 8

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1. f (x) ≥ 0

2.

3. p(a

4. f(x) = в точках непрерывности функции f(x).

Понятие функции распределения, математического ожидания и дисперсии имеет такой же смысл, как в дискретном случае, а вычисляются соответственно по формулам (6) – (8).

(6)

M (x) = (7)

D ( x) = (8)

Пример 13. Случайная величина x распределена по закону, определяемому плотностью распределения вероятностей вида

f (x) =

Найти параметр a, F(x), M (x), D ( x).

Параметр a найдем из свойства , интеграл разобьем на сумму трех интегралов

Нарисуем график плотности распределения f (x) (Рис.9)

Рис. 9

Вычислим функцию распределения, для этого рассмотрим интервалы .

1. х Î (- ∞, 0) ,

2. х Î [0, 2] ,

3. х (2, ) .

График функции приведен на Рис. 10.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию:

Рис.10