Сведения по статике

Условия равновесия произвольной пространственной системы сил.

В общем случае условия равновесия произвольной пространственной системы сил выражаются системой уравнений:

(1)

т.е. необходимыми и достаточными условиями равновесия являются равенства нулю сумм всех сил на 3 координатные оси сумм моментов всех сил относительно тех же осей.

Условия равновесия произвольной плоской системы сил.

Для произвольной плоской системы сил условия равновесия выражаются уравнениями:

(2)

т.е. для равновесия системы сил, произвольно расположенных на одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно произвольно центра, принадлежащего данной плоскости, были равны нулю.

Трение скольжения. Явление самозаклинивания.

Проиллюстрировать действие сил трения можно с помощью следующего опыта (рис. 53).

Рис. 53.

Тело приводится в движение по горизонтальной плоскости посредством сдвигающей силы P, значение которой монотонно возрастает, начиная с нуля. Сила, препятствующая скольжению, это и есть сила трения. Опыт показывает, что скольжение начинается только по достижении некоторого предельного значения сдвигающей нагрузки, т.е. при условии P > Pпред.

При P ≤ Pпред. Тело остается неподвижным.

Так были получены общие закономерности, которым подчиняются трение скольжения (законы Кулона):

1. Сила трения скольжения в покое численно равна сдвигающей силе, противоположна ей по направлению, но не может превысить некоторой предельной величины, т.е. изменяется в пределах:

(3)

2. Значение предельной силы трения прямо пропорционально нормальной реакции:

(4)

где ƒ₀ – так называемый коэффициент трения скольжения в покое.

Представление о величине коэффициента ƒ₀ дают следующие данные: при трении стали по стали (без смазки) ƒ₀ = 0,20…0,30; стали по стали при наличии смазки - ƒ₀ = 0,1…0,5; стали по бронзе - ƒ₀ = 0,15…0,2; стали по фторопласту – ƒ₀ = 0,03…0,05, и.т.д.

Величина коэффициента зависит от качества обработки трущихся поверхностей, их твердости, наличия или отсутствия смазки, качества смазки и многих других факторов.

3. Сила трения скольжения при движении направлена в сторону, противоположную скорости, и ее значение пропорционально нормальной реакции:

(5)

где ƒ - коэффициент трения скольжения при движении. Этот коэффициент зависит от той же совокупности факторов, что и ƒ₀, кроме того, от скорости движения. Обычно с увеличением скорости величина ƒ сначала убывает, а затем сохраняет почти постоянное значение или возрастает.

Угол и конус трения.

Полная реакция опорной поверхности геометрически слагается из нормальной реакции N и перпендикулярной к ней силы трения. Так как F_тр. ≤ F_{тр.пред}, то при одной и той же величине N полная реакция может иметь разные численные значения R и образовывать разные углы φ с нормалью (рис. 54).

Рис. 54.

Наибольшее значение полная реакция имеет при F_тр. = F_{тр.пред}. При этом реакция R образует с нормалью угол φ₀, который называется углом трения. Как видно из рис. 55:

(6)

При сравнительно небольших ƒ₀ можно принять φ₀ ≡ƒ₀.

Так как тело может смешаться по любому из направлений, касательному к опорной поверхности, то и полная реакция может занимать любое положение, лежащие внутри конуса с углом при вершине φ₀ (конус трения).

Пусть к телу приложена система активных сил, имеющих равнодействующую, составляющие которой Q_n и Q_τ, причем угол α есть угол наклона равнодействующей к нормали (рис. 55).

Рис. 55.

Запишем условие того, что равновесие будет нарушено и тело начнет смещаться:

(7)

или

(8)

Значит, если линия действия равнодействующая Q лежит вне конуса трения, равновесие будет нарушено. Если же линия действия равнодействующей лежит внутри этого конуса (т.е. α ≤ φ₀), равновесие сохраняется; как-бы не было велико значение силы Q, она не сможет в этом случае вызвать движение. Это явление называется самозаклиниванием или самоторможение.

Например, если угол подъёма винтовой линии резьбы домкрата меньше угла трения, винт остается неподвижным (т.е. не будет вворачивается в гайку или выворачиваться из нее) при любой сколько угодно большой нагрузке, действующей вдоль оси винта. Здесь выполнено условие самоторможения винтовой пары.

Трение качения.

Причины, вызывающие сопротивление при качении, не могут быть выяснены в рамках обычных представлений об абсолютно твердом теле, ибо трение качения вызывается именно деформациями тела и опорной поверхности в зоне контакта.

Чтобы показать это, допустим вначале, что тело, имеющее форму цилиндрического катка, и опорная поверхность являются абсолютно твердыми и касаются друг друга в одной точке К (рис. 56).

Рис. 56.

Каток находится под действием вертикальной нагрузки Р и сдвигающей силы Q, приложенной в центре.

Чтобы смогло происходить качение без проскальзывания, значение сдвигающей силы не должно превышать предельного значения силы трения скольжения:

Итак, каток находится под действием активных сил Q и Р и реактивных сил и , приложенных к точке контакта, причём

т.о. геометрическая сумма всех действующих сил равна нулю. Но силы и , как видно на рисунке, образуют пару

с моментом М = Qּτ, которые в данном случае ничем не компенсируются. Значит, достаточно сколь угодно малой сдвигающей силы Q, чтобы вызвать качение цилиндра.

В действительности картина будет иной. Вследствие деформации тел касание происходит не в точке, а по некоторой площадке КВ. Реакция опорной поверхности аппроксимируется теперь распределенной реактивной нагрузкой , которая приводится к реактивной силе R и реактивной паре сил с моментом Мк. Составляющие определяют соответственно значение нормальной реакции и силой трения скольжения . Реактивный момент Мк направлен противоположно паре сил ( , ) и, следовательно, препятствует качению тела. Этот момент, который называется моментом трения качения, определяет сопротивление, которое возникает при качении одного тела по поверхности другого. Момент трения качения в условиях равновесия подчиняется следующим закономерностям:

1. В условиях равновесия момент трения качения изменяется от нуля до некоторого предельного значения:

(9)

2. Предельное значение момента трения качения прямо пропорционально величине нормальной реакции:

(10)

где k - коэффициент трения качения. В отличие от коэффициента трения скольжения, который является безразмерной величиной коэффициент трения имеет размерность длины.