Эту формулу называют «формулой полной вероятности»

Доказательство. По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий B₁, В₂,..., В_n. Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий В₁А, B₂A,..., В_nА. Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим

P(A) = P(B₁A) + P(B₂A) +... + P(B_nA). (*****)

Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем

Р(В₁А) = Р(В₁)*PB_l(A);

Р(В₂А) = Р(В₂)*PB₂(A);

…

Р(В_nА) = Р(В_n)*PB_n(A);

Подставив правые части этих равенств в соотношение (*****), получим формулу полной вероятности

Р(А) = Р(В₁)*Рв₁(А) + Р(В₂)*PB₂(A) + … + Р(В_n)*PB_n(A). ч.т.д.

Пример 3. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь
(из наудачу взятого набора) – стандартная.

Решение. Обозначим через А событие «извлеченная деталь стандартна». Деталь может быть извлечена либо из первого набора (событие В₁), либо из второго (событие В₂).

Вероятность того, что деталь вынута из первого набора,

Р(В₁) = 1/2.

Вероятность того, что деталь вынута из второго набора,

Р(В₂) = 1/2.

Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь,

PB₁(A) = 0,8.

Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь,

PB₂(A) = 0,9.

Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь – стандартная, по формуле полной вероятности равна

Р(А) = Р(B₁)*PB₁(A) + Р(B₂)*PB₂(A) = 0,5*0,8 + 0,5*0,9 = 0,4 + 0,45 = 0,85.

Пример 4. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке – 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

Решение. Обозначим через А событие «из первой коробки извлечена стандартная лампа». Из второй коробки могла быть извлечена либо стандартная лампа (событие В₁), либо нестандартная (событие В₂).

Вероятность того, что из второй коробки извлечена стандартная лампа, Р(B₁) = 9/10.

Вероятность того, что из второй коробки извлечена нестандартная лампа, Р (В₂) = 1/10.

Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена стандартная лампа, равна

РB₁(А) = 19/21.

Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена нестандартная лампа, равна

РB₂(А) = 18/21.

Искомая вероятность того, что из первой коробки будет извлечена стандартная лампа, по формуле полной вероятности равна

Р(А) = Р(В₁)*PB₁(A) + Р(В₂)*PB₂(A)P (В2) = (9/10)*(19/21) + (1/10)*(18/21) = 0,9.