Энергетический фильтр

Энергетический фильтр максимизирует отношение сигнал/помеха по всей длине фильтра (а не в отдельной точке), и если сигнал по своей протяженности укладывается в окно фильтра, то тем самым обеспечивается оценка формы сигнала. Фильтр занимает промежуточное положение между фильтром воспроизведения сигнала Колмогорова- Винера и согласованным фильтром и требует задания корреляционных функций сигнала и помех. Сигнал может быть представлен и в детерминированной форме с соответствующим расчетом его автокорреляционной функции.

Критерий оптимальности. Энергия сигнала на выходе фильтра:

E_sh = S_k s_k² = S_k (S_n h_n s_k-n)² = S_k h_k S_n h_n R_s(k-n), (12.6.1)

где R_s- функция автокорреляции сигнала. В векторной форме:

E_sh = . (12.6.2)

Аналогично, выражение для энергии помех на выходе:

E_qh = S_k h_k S_n h_n R_q(k-n) = , (12.6.3)

где R_q - функция автокорреляции помех. При некоррелированной помехе E_qh = s².

Подставим (12.6.2, 12.6.3) в выражение (12.2.4):

r = / . (12.6.4)

Расчет векторов операторов фильтров. Для определения значений вектора продифференцируем r по , и приравняем производную к нулю:

.

. (12.6.5)

В системе уравнений (12.6.5) неизвестны собственные значения r матрицы и значения коэффициентов h_n. Система имеет N+1 ненулевых решений относительно значений r и соответствующих этим значениям векторов . Для определения коэффициентов фильтра приравнивается к нулю и решается относительно r определитель матрицы , после чего максимальное значение r_max подставляется в (12.6.5) и система уравнений решается относительно коэффициентов h_i вектора . При фильтрации сигнала вектор обеспечивает выделение первой по мощности главной компоненты сигнала, т.е. составляющей сигнала, которая имеет наибольшую энергию и отношение сигнал/шум. В сложных полях такая компонента, как правило, соответствует региональному фону.

В принципе, расчет может быть продолжен и для других значений r<r_max, и определены значения коэффициентов векторов , и т.д., с использованием которых могут выделяться вторая и прочие компоненты сигнала. Наиболее эффективно такой метод используется для разделения сигналов (полей) при некоррелированных помехах. В этом случае корреляционная матрица помех является единичной (единицы по диагонали, остальное - нули) и уравнение (12.6.5) имеет вид:

. (12.6.6)

В развернутой форме:

h_o(R_s(0)-r)+ h₁R_s(1)+ h₂R_s(2)+ h₃R_s(3)+...+ h_MR_s(M) = 0,

h_oR_s(1)+ h1(Rs(0)-r)+ h₂R_s(1)+ h₃R_s(2)+...+ h_MR_s(M-1) = 0,

h_oR_s(2)+ h₁R_s(1)+ h₂ (Rs(0)-r)+ h₃R_s(1)+...+ h_MR_s(M-2) = 0,

.............

h_oR_s(M)+ h₁R_s(M-1)+ h₂R_s(M-2)+..... + h_M (Rs(0)-r) = 0.

Выражение (12.6.6) при малом уровне шумов позволяет вместо ФАК какого-либо определенного сигнала использовать ФАК непосредственно зарегистрированных данных. Если при этом в зарегистрированных данных кроме помех присутствуют два (и более) сигналов, например, региональный фон и локальная составляющая (аномалия), то расчет векторов h_i приобретает конкретный практический смысл. После первой фильтрации оператором и выделения региональной составляющей, массив данных (исходный или с вычитанием из него региональной составляющей) может быть профильтрован повторно оператором , что позволит выделить и локальную аномалию (и т.д.). Разделение сигналов будет тем надежнее, чем сильнее они отличаются друг от друга по энергии и интервалу корреляции.

В заключение отметим, что расчеты оптимальных фильтров могут производиться с использованием алгоритма Левинсона.

литература

12. Канасевич Э.Р. Анализ временных последовательностей в геофизике. - М.: Недра, 1985.- 300 с.

42. Яневич Ю.М. Задачи приема сигналов и определения их параметров на фоне шумов: Курс лекций. / СПбУ.