Случайные процессы и шумы /12/. Случайные процессы и шумы описываются функциями автокорреляции и спектрами мощности

Случайные процессы и шумы описываются функциями автокорреляции и спектрами мощности. Модели случайных процессов (сигналов) с заданными статистическими характеристиками обычно получают фильтрацией белого шума.

Белый шум является стационарным случайным процессом q(t), у которого автокорреляционная функция описывается дельта - функцией Дирака и, соответственно, спектральная плотность мощности не зависит от частоты и имеет постоянное значение W_q(f) = s², равное дисперсии значений q(t). Другими словами, все спектральные составляющие белого шума имеют одинаковую мощность (как белый цвет содержит все цвета видимого спектра). По существу, это идеализированный случайный процесс с бесконечной энергией. Но в случае постоянства спектральной плотности мощности случайного процесса в конечном диапазоне частот введение такой идеализации позволяет разрабатывать достаточно легко реализуемые оптимальные методы фильтрации. Многие помехи в радиотехнике, в технике связи и в других отраслях, в том числе в информатике, рассматривают как белый шум, если эффективная ширина спектра сигналов B_s много меньше эффективной ширины спектра шумов B_q, а спектральная плотность мощности шумов слабо изменяется в интервале спектра сигнала. Понятие "белый шум" определяет только спектральную характеристику случайного процесса и под это понятие подпадают любые случайные процессы, имеющие равномерный энергетический спектр и различные законы распределения.

Если частотный диапазон спектра, на котором рассматриваются сигналы и помехи, равен 0-В, то спектральная плотность шума задается в виде:

W_q(f)=s², 0£ f £B; W_q(f)=0, f > B, (12.1.1)

при этом корреляционная функция шума определяется выражением:

R_q(t)= s²B×sin(2pBt)/2pBt. (12.1.2)

Эффективный интервал корреляции:

T_k = 2 |R_q(t)|dt /R_q(0). (12.1.3)

Рис. 12.1.1. Функции корреляции белого шума в частотном интервале 0-В.

Реальный интервал корреляции целесообразно определять по ширине главного максимума функции R_q(t) (значения t при первых пересечениях нулевой линии), в котором сосредоточена основная часть энергии шумов, при этом T_k = 1/В и BT_k = 1.

Как следует из всех этих выражений и наглядно видно на рис. 12.1.1, при ограничении частотного диапазона в шумах появляется определенная корреляция между значениями, и, чем меньше частотный диапазон шумов, тем больше их радиус корреляции. По существу, ограничение шумов определенным частотным диапазоном эквивалентно фильтрации белого шума частотным фильтром с соответствующей шириной полосы пропускания, при этом, корреляционная функция импульсного отклика фильтра свертывается с дельта – функцией белого шума.

Модель белого шума q(t) можно формировать как случайную по времени (аргументу) последовательность дельта - импульсов d(t_i) со случайными амплитудными значениями a_i:

q(t) = S_i a_i d(t-t_i), (12.1.4)

которая удовлетворяет условиям статистической однородности: постоянное среднее число импульсов в единицу времени и статистическая независимость появления каждого импульса от предыдущих. Такой поток импульсов, который называют пуассоновским, является некоррелированным и имеет равномерный спектр плотности мощности:

W_q(w) = c² = Ns_a²,

где N - число импульсов на интервале Т реализации случайного процесса, s_a²-дисперсия амплитуд импульсов.

Фильтрация белого шума. Спектральное описание белого шума оказывается удобным при учете влияния на него амплитудно-частотных характеристик различных устройств. Если на входе фильтра с импульсным откликом h(t) действует белый шум q(t), то сигнал на выходе фильтра:

g(t) = h(t) ③ q(t) = h(t) ③ S_i a_i d(t-t_i) =S_i a_i h(t-t_i), (12.1.5)

т.е. выходной сигнал будет представлять собой последовательность сигналов импульсной реакции фильтра h(t) с амплитудой a_i, при этом автокорреляционная функция и спектр мощности выходного потока также становятся подобными ФАК и спектру мощности импульсной реакции фильтра, и в первом приближении определяются выражениями:

R_g(t) N s_a²R_h(t) = c²R_h(t), (12.1.6)