Силы, действующие в жидкости

Различают два класса сил, действующих на частицы движущейся или покоящейся жидкости:

× объемные (массовые) силы действуют на каждуючастицу, находящуюся в рассматриваемом объеме. Примерами таких сил являются силы тяжести, инерции, электростатические и т.п.;

× поверхностные силы действуют на элементы поверхности, ограничивающей выделенный объем. К ним относят силы давления и трения, обусловленного вязкостью жидкости.

При описании силовых взаимодействий в жидкостях, в отличие от твердых тел, имеют дело не с самими силами, а с их плотностями. Плотностью объемных сил F в данной точке среды называют предел отношения главного вектора объемных сил R _W, приложенного к точке, расположенной внутри малого объема , к массе этого объема, при условии, что объем стремится к нулю, т.е.

.

В системе Си плотность объемных сил F имеет размерность м/с². В случае действия на жидкость силы тяжести, плотность объемных сил тяжести равна ускорению свободного падения ; при равномерном вращении жидкости с угловой скоростью , плотность распределения центробежных сил равна центробежному ускорению .

Плотности объемных сил изменяются в пространстве и времени . В проекциях на оси координат вектор плотности объемных сил представляют в следующем виде

,

где – единичные векторы (орты), направление которых совпадает направлением осей декартовой системы координат.

Поверхностные силы, главный вектор которых равен , задаются вектором напряжений , приложенным к площадке DS _n. Ориентация этой площадки в пространстве определяется единичным вектором , перпендикулярным к ней. Вектор напряжений равен пределу отношения главного вектора поверхностных сил к площади DS _n, на которую он действует, при условии, что величина этой площади стремится к нулю

.

Индекс у вектора напряжения указывает на конкретную площадку, заданную нормалью , в пределах которой действуют рассматриваемые напряжения. Поскольку через заданную точку пространства можно провести бесчисленное множество площадок, то вектор напряжений в каждой точке пространства принимает бесчисленное множество значений в зависимости от ориентации площадки, к которой приложено напряжение, и векторного поля не образует. Направление вектора по отношению к площадке DS _n может быть произвольным. При анализе его раскладывают на нормальную и касательную составляющие.

Выделим в движущейся жидкости элементарный объем в виде тетраэдра, грани которого DS _x, DS _y и DS _z лежат в координатных плоскостях, а стороны Dx, Dy, Dz, совпадающие с осями координат, представляют собой малые величины первого порядка (0¹). Грань DS _n перпендикулярна орту .

На жидкость, находящуюся в выделенном объеме, действуют массовые силы, заданные вектором плотности F, и поверхностные силы, определяемые напряжениями , которые действуют на гранях тетраэдра, перпендикулярных осям x, y, z и нормали , соответственно. Если к этим силам добавить силу инерции , то в соответствии с принципом Даламбера получим

,

где – вектор ускорения.

В данном уравнении массовые силы являются малыми величинами третьего порядка (в качестве сомножителя имеют – произведение трех сколь угодно малых величин). Поверхностные силы представляют собой малые величины второго порядка (). Пренебрегая массовыми силами, а также учитывая, что

получим

. (1.4)

Из уравнения (1.4) следует, что напряжение на любой площадке DS _n можно выразить через напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, которые могут лежать в координатных плоскостях. В проекциях на оси координат (1.4) имеет вид

(1.5)

Для обозначения проекции вектора напряжения используют два индекса: первый определяет ориентацию в пространстве площадки, на которую действует напряжение, направлением нормали к ней, а второй – ось, на которую проектируется вектор. Например, P_xy представляет собой проекцию на ось y вектора напряжения , действующего на площадке, перпендикулярной к оси x.

Величины представляют собой нормальные напряжения к площадкам перпендикулярным осям x, y и z соответственно, а проекции, в обозначениях которых присутствуют разноименные индексы, определяют касательные напряжения.

Совокупность девяти величин типа P _ij, связанных соотношением (1.5) образуют матрицу, получившую название тензора напряжений Р

.

Напряженное состояние в каждой точке жидкости описывается тензором напряжений. Для определения вектора напряжения, действующего на площадке, проходящей через рассматриваемую точку, необходимо знать тензор напряжений Р и ориентацию площадки в пространстве . Уравнения (1.4) и (1.5) могут быть представлены в следующей форме

. (1.6)