Стохастичность технологического потока

Стохастичность технологического потока присуща любой технологии. Практический интерес представляет уровень стохастичности, который можно оценить через ряд характеристик распределений величин выхода отдельных подсистем.

Качество связей в технологическом потоке. Вероятностный «образ жизни» технологического потока является следствием наложения и пересечения большого количества входных, управляющих и возмущающих факторов. Целесообразно разобраться в их совместном влиянии на выходные параметры подсистемы и отсеять незначимые факторы, пользуясь методами теории вероятностей и математической статистики. В конечном счете нас интересует качество связей в потоке и их развитие.

Сбор информации о связях в технологическом потоке. Ввиду того, что количество факторов, подозреваемых во влиянии на выход подсистемы, обычно велико (более 10), отбор наиболее значимых следует проводить в два этапа, используя на первом этапе метод априорного ранжирования факторов, а на втором – разведывательные однофакторные эксперименты с тщательным анализом их результатов.

Ранжирование факторов проводят следующим образом. Составленный (в виде анкеты) список факторов с обязательным указанием уровней их варьирования предлагают специалистам – работникам предприятия – для расположения факторов в порядке убывания
их влияния на параметр качества. Такую работу может проделать бригадир поточной линии или сменный мастер цеха. Каждый специалист должен заполнить анкету самостоятельно.

После заполнения анкет определяют степень согласованности результатов ранжирования при помощи коэффициента конкордации, который изменяется в интервале 0 ≤ W ≤ 1. При W = 0 согласия во мнениях специалистов нет; при W = 1 – полное согласие относительно порядка убывания влияния факторов.

Для установления того, что совпадение во мнениях специалистов не случайно, необходимо воспользоваться критерием Пирсона (χ²). При χ²_эксп > χ²_табл, т. е. экспериментальная величина критерия Пирсона больше его табличного значения, степень согласия между специалистами, оцениваемая величиной W, не вызывает сомнения. Величина соответствует доверительной вероятности Р = 0,90–0,99 и числам степеней свободы f = (k – 1), где k – количество факторов.

(4.17)

где m и k – число специалистов и факторов.

Вообще, можно было бы для W построить соответствующее распределение, но обычно используют то обстоятельство, что случайная величина т (k – 1) W npu k > 7 подчиняется χ²-распределению, следовательно, гипотезу о согласии специалистов (значимость W)можно проверять с помощью критерия χ² (табл. 4.1).

Таблица 4.1

Значение χ² – критерия для различных вероятностей

Число степеней свободы f	Вероятность Р	Число степеней свободы f	Вероятность Р
0,90	0,95	0,99	0,90	0,95	0,99
	2,71	3,84	6,64		21,06	23,69	29,14
	4,61	5,99	9,21		22,31	25,00	30,58
	6,25	7,82	11,34		23,54	26,30	32,00
	7.78	9,49	13,28		24,77	27,59	33,41
	9,24	11,07	15,09		25,99	28,87	34,81
	10,65	12,59	16,81		27,20	30,14	36,19
	12,02	14,07	18,48		28,41	31,41	37,57
	13,36	15,51	20,09		29,62	32,67	38,93
	14,68	16,92	21,67		30,81	33,92	40,29
	15,99	18,31	23,21		32,01	35,17	41,64
	17,28	19,68	24,73		33,20	36,42	42,98
	18,55	21,03	26,22		34,38	37,65	44,31
	19,81	22,36	27,69

Коэффициент конкордации

(4.18)

где S – сумма квадратов отклонений;

(4.19)

где a_ij – ранг (порядковый номер фактора) при опросе i-го фактора у j-го специалиста; L – среднее значение сумм рангов по каждому фактору.

(4.20)

Если специалист затрудняется провести четкую ранжировку двух или более факторов, то вводят так называемые «связанные» ранги,
т. е. двум и более факторам приписывают одно и то же место.

При этом коэффициент конкордации

(4.21)

Здесь

где h – число случаев одинаковых рангов в j -м ранжировании; t_l –
l- е число одинаковых рангов в j -м ранжировании.

Если у некоторых из опрошенных специалистов не оказалось связанных рангов, то для них T_j = 0. Следует отметить, что наличие связанных рангов – типичное явление.

После того как установят, что вычисленное (экспериментальное) значение χ²-распределения больше табличного значения при соответствующем числе степеней свободы, строят диаграмму рангов факторов, отражающую коллективное мнение специалистов.

Расчет объема выборки. Поскольку всякий эксперимент в условиях массового производства связан с выборкой объектов (например, отформованных изделий, порций массы или доз жидкости), по которой нужно сделать заключение об изучаемой совокупности, рассмотрим вопрос о необходимом объеме выборки.

Точность оцениваемого параметра определяет длину доверительного интервала:

где – средняя величина параметра, рассчитанная по элементам выборки; z_Р – нормированное отклонение с вероятностью Р;

где М(Х) – математическое ожидание; σ – среднее квадратичное отклонение генеральной совокупности; n – объем выборки.

Если обозначить то по заданной точности ∆ и выбранному значению z_P всегда можно вычислить п, т. е. необходимый объем выборки.

Действительно,

откуда

Из этой формулы, в частности, следует, что за увеличение точности эксперимента нужно платить увеличением объема выборки и чем больше рассеяние признаков в выборке, тем больше нужно отобрать образцов для лабораторного анализа.

Если среднее квадратичное отклонение генеральной совокупности σ от случайной величины, подчиняющейся нормальному закону распределения, неизвестно, то предварительно по данным небольшой пробной выборки объемом k приближенно оценивают параметр σ². Эту оценку подставляют в формулу (4.21), которая в этом случае принимает вид:

N =

Расчетная формула для определения объема выборки в случае изучения качественных (типа «да-нет») изменений образцов:

где q – доля признака среди отобранных образцов.

В исследованиях, когда величина q неизвестна даже приблизительно, в формулу (4.21) можно ввести максимальную величину
q(1 – q) = 0,5 · 0,5 = 0,25, что в любом случае гарантирует получение необходимой расчетной величины п.

Уровень стохастичности связей в технологическом потоке. Стохастические связи могут быть весьма сложными. Наиболее простым и имеющим важное практическое значение видом стохастических связей является корреляционная связь. Эта связь между двумя случайными величинами выражается в том, что на изменение одной случайной величины другая случайная величина реагирует изменением своего математического ожидания или среднего значения.

Имея выборку объемом п(х₁, Y₁),(х₂, Y₂), …, (х_п, Y_n),величину коэффициента корреляции между Y и x можно оценить по формуле

(4.22)

Коэффициент корреляции может быть выражен проще, если числитель и знаменатель (4.22) разделить на п, а при малом объеме выборки на (п – 1):

(4.23)

, (4.24)

, (4.25)

где μ_Yx – ковариация x и Y; s_x – среднее квадратичное отклонение величины x; s_Y – среднее квадратичное отклонение величины Y.

Тогда

(4.26)

Чтобы отличить r _Yx от других коэффициентов корреляции (например, множественной корреляции), его называют коэффициентом парной корреляции. Основные свойства коэффициента корреляции выражаются в следующем:

1) если r _Yx = ±1, то Y и х связаны точной прямолинейной связью вида:

Y = а + bх;

2) если r _Yx = 0, то между Y и х нет прямолинейной корреляционной связи, но криволинейная возможна;

3) чем ближе r _Yx к ±1, тем точнее и теснее прямолинейная корреляционная связь между Y и х;она ослабевает с приближением r _Yx к нулю.

Чтобы установить, случайно ли отклоняется коэффициент корреляции от нуля или имеется корреляционная связь, вычисляют:

(4.27)

и сравнивают это значение с критерием Стьюдента при числе степеней свободы f = (n – 2). Если вероятность, соответствующая величине t_pacч, больше требуемой доверительной вероятности, соответствующей t_табл, то корреляция существует. Другими словами, при t_расч > t_табл корреляционная связь действительно имеется.