Примеры решения задач. Пример 1. Точечный заряд q=25 нКл находится в ноле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом R=1 см

Пример 1. Точечный заряд q =25 нКл находится в ноле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом R= 1 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью s=2 мкКл/м². Определить силу, действующую на заряд, помещенный от оси цилиндра на расстоянии r =10 см.

Решение. Сила, действующая на заряд q, находящийся в поле

F=qE,

где Е — напряженность поля в точке, в которой находится заряд q.

Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра

E = ,

где t — линейная плотность заряда.

Выразим линейную плотность t через поверхностную плотность s. Для этого выделим элемент цилиндра длиной l и выразим находящийся на нем заряд q₁ двумя способами

q₁=sS=s2pRl и q ₁ =t l

Приравняв правые части этих равенств, получим t l =2p Rls. После сокращения на l найдем t=2p Rs. С учетом этого формула напряженности поля примет вид E=Rs/(e₀r). Подставив это выражение Е в формулу силы, действующей на заряд q, находящийся в поле, найдем искомую силу

F=qsR/(e₀r)

Так как R и r входят в формулу в виде отношения, то они могут быть выражены в любых, но только одинаковых единицах.

Выполнив вычисления по последней формуле, найдем

F =25×10^-9×2×10^-6×10^-2/(8,85×10^-12×10×10^-2)H==565×10^-6H=565мкH.

Направление силы совпадает с направлением вектора напряженности , а последний в силу симметрии (цилиндр бесконечно длинный) направлен перпендикулярно цилиндру.

Пример 2. Положительные заряды q₁ =3 мкКл и q₂ =20 нКл находятся в вакууме на расстоянии r₁ =l,5 м друг от друга. Определить работу A, которую надо совершить, чтобы сблизить заряды до расстояния r₂ =1 м.

Решение. Положим, что первый заряд q₁ остается неподвижным, а второй q₂ под действием внешних сил перемещается в поле, созданном зарядом q₁, приближаясь к нему с расстояния r₁ =t,5 м до r₂ =1 м.

Работа А' внешней силы по перемещению заряда q из однойточки поля с потенциалом j ₁ в другую, потенциал которой j ₂, равна по модулю и противоположна по знаку работе А сил поля по перемещению заряда между теми же точками

А '= — А

Работа А сил поля по перемещению заряда A = q (j ₁ —j ₂). Тогда работа А' внешних сил может быть записана в виде

A' = – q (j ₁ —j ₂)= q (j ₂ — j₁)

Потенциалы точек начала и конца пути выразятся формулами

,

Подставляя выражения j ₁ и j ₂ в формулу работы внешних сил и учитывая, что для данного случая переносимый заряд q = q₂, получим

Если учесть, что 1/(4pe ₀)=9×10⁹ м/Ф, то после подстановки значений величин в последнюю формулу работы внешних сил и вычисления найдем

A '=180 мкДж

Пример 3. Определить электрическую емкость С плоского конденсатора с двумя слоями диэлектриков: фарфора толщиной d ₁ = 2 мм и эбонита толщиной d ₂ = 1,5 мм, если площадь S пластин равна 100 см².

Решение. Емкость конденсатора, по определению

,

где q - заряд на пластинах конденсатора; U - разность потенциалов пластин. Заменив в этом равенстве общую разность потенциалов U конденсатора суммой U ₁ +U ₂напряжений на слоях диэлектриков, получим

Принимая во внимание, что

, и ,

тогда формулу для емкости конденсатора можно переписать в виде

,

где σ - поверхностная плотность заряда на пластинах; Е ₁ и Е ₂ - напряженности поля в первом и втором слоях диэлектрика соответственно; D - электрическое смещение поля в диэлектриках.

Умножив числитель и знаменатель последнего равенства на ε₀ и учтя, что D=σ, получим окончательную формулу для определения емкости плоского конденсатора

Сделав подстановку числовых значений d ₁, d ₂, e₁, e₂, e₀, и S в последнюю формулу, найдем электрическую емкость С плоского конденсатора с двумя слоями диэлектриков

Пример 4. Плоский конденсатор заряжен до разности потенциалов U = 1 кВ. Расстояние d между пластинами равно 1 см. Диэлектрик - стекло. Определить объемную плотность энергии поля конденсатора.

Решение. Объемная плотность энергии поля конденсатора

,

где W - энергия поля конденсатора; V- объем, занимаемый полем, т. е. объем пространства, заключенного между пластинами конденсатора.

Энергия поля конденсатора определяется по формуле

,

где U - разность потенциалов, до которой заряжены пластины конденсатора; С - его электроемкость. Но

и

Подставив выражение для электроемкости в формулу энергии поля конденсатора и затем выражения этой энергии и объема в формулу для объемной плотности энергии поля конденсатора, получим

Подставим значения величин в последнюю формулу и произведя вычисления, найдем

Пример 5. Определить заряд q, прошедший по проводу с сопротивлением R= 3Ом при равномерном нарастании напряжения на концах провода от U ₀ = 2В до U = 4В в течение t= 20с.

Решение. Так как сила тока в проводе изменяется, то воспользоваться для подсчета заряда формулой q=It нельзя. Поэтому возьмем дифференциал заряда d q=I d t и проинтегрируем

Выразив силу тока по закону Ома, получим

Напряжение U в данном случае изменяется со временем. В силу равномерности нарастания оно может быть выражено формулой

U= U ₀ +kt,

где k - коэффициент пропорциональности. Подставив это выражение U в формулу вычисления для заряда, найдем

Проинтегрировав, получим

Значение коэффициента пропорциональности k найдем из формулы U= U ₀ +kt, если заметим, что при t= 20 с U= 4В, тогда

Подставив значения величин вформулу для вычисления заряда, получим

Пример 7. В цепь источника постоянного тока с ЭДС ε= 6В включен резистор сопротивлением R= 80Ом. Определить: 1)плотность тока в соединительных проводах площадью поперечного сечения S= 2мм²; 2)число N электронов, проходящих через сечение проводов за время t= 1 с. Сопротивлением источника тока и соединительных проводов пренебречь.

Решение. 1.Плотность тока по определению есть отношение силы тока I к площади поперечного сечения провода

Силу тока в этой формуле выразим по закону Ома

,

где R - сопротивление резистора; R ₁ - сопротивление соединительных проводов; r ₁- внутреннее сопротивление источника тока.

Пренебрегая сопротивлениями R _lи r ₁из формулы закона Ома, получим

Подставив это выражение силы тока в формулу плотности тока, получим

Произведя вычисления по этой формуле, получим

2.Число электронов, проходящих за время t через поперечное сечение, найдем, разделив заряд q, протекающий за это время через сечение, на элементарный заряд

,

или с учетом того, что q=It и I=ε/R

Подставим в эту формулу числовые значения величин и вычислим

электронов

Пример 7. На проволочный виток радиусом r =10см, помещенный между полюсами магнита, действует максимальный механический момент М _max=6,5 мкНм. Сила тока I в витке равна 2 А. Определить магнитную индукцию В поля между полюсами магнита. Действием магнитного поля Земли пренебречь.

Решение. Индукцию В магнитного поля можно определить из выражения механического момента, действующего на виток с током в магнитном поле

Если учесть, что максимальное значение механический момент принимает при α=π/2(sin α=l), а также что p_m=IS, то формула механического момента примет вид

Отсюда, учитывая, что S= π r², находим

Произведя вычисления по последней формуле, найдем

Пример 8. Определить индукцию В и напряженность Н магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержащей N =200 витков, идет ток I =5 А. Внешний диаметр d ₁тороида равен 30 см, внутренний d ₂ = 20 см.

Решение. Для определения напряженности магнитного поля внутри тороида вычислим циркуляцию вектора вдоль линии магнитной индукции поля

Из условия симметрии следует, что линии магнитной индукции тороида представляют собой окружности, и что во всех точках этой линии напряженности одинаковы. Поэтому в выражении циркуляции напряженность Н можно вынести за знак интеграла, а интегрирование проводить в пределах от нуля до 2 p r, где r — радиус окружности, совпадающей с линией индукции, вдоль которой вычисляется циркуляция, т. e.

С другой стороны, в соответствии с законом полного тока циркуляция вектора напряженности магнитного поля равна сумме токов, охватываемых контуром, вдоль которого вычисляется циркуляция

Приравняв правые части последних двух равенств, получим

Линия, проходящая вдоль тороида, охватывает число токов, равное числу витков тороида. Сила тока во всех витках одинакова. Поэтому последнее равенство примет вид 2prH=NI, откуда

Для средней линии тороида r =1/2(R ₁ R ₂)=1/4(d ₁+ d ₂). Подставив это выражение r в формулу напряженности, найдем

Подставив значения величин в эту формулу, получим

Магнитная индукция В ₀в вакууме связана с напряженностью поля соотношением B ₀ = m₀ H. Следовательно

Подставив значения величин в последнюю формулу, получим

Пример 9. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U =400 В, попал воднородное магнитное поле с индукцией B =1,5 мТл. Определить: 1) радиус R кривизны траектории; 2)частоту п вращения электрона вмагнитном поле. Вектор скорости электрона перпендикулярен линиям индукции.

Решение. 1.Радиус кривизны траектории электрона определим исходя из следующих соображений: на движущийся в магнитном поле электрон действует сила Лоренца F. (Действием силы тяжести можно пренебречь.) Вектор силы Лоренца перпендикулярен вектору скорости и, следовательно, по второму закону Ньютона, сообщает электрону нормальное ускорение а_n

F=ma_n

Подставив сюда выражения силы Лоренца F и нормального ускорения а_n, получим

,

где е, v, т — заряд, скорость, масса электрона; В — индукция магнитного поля; R — радиус кривизны траектории; a — угол между направлениями векторов скорости и магнитной индукции (в нашем случае ^ и a = 90°, следовательно, sin a =l).

Из формулы силы Лоренца найдем радиус кривизны траектории

Входящий в последнюю формулу импульс mv выразим через кинетическую энергию W_K электрона

Но кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, определяется равенством W_K = | e | U. Подставив это выражение W_K в формулу импульса, получим

Тогда выражение для радиуса кривизны траектоии приобретает вид

Подставив числовые значения величин в последнюю формулу, получим

2.Для определения частоты вращения воспользуемся формулой связывающей частоту со скоростью и радиусом кривизны траектории

Подставив формулу радиуса кривизны траектории в последнюю формулу, получим

Произведя вычисления по последней формуле, найдем

Пример 10. В однородном магнитном поле с индукцией B =0,1 Тл равномерно вращается рамка, содержащая N= 1000 витков, с частотой n=l0 c ^-1. Площадь S рамки равна 150 см². Определить мгновенное значение ЭДС , соответствующее углу поворота рамки 30°.

Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции , определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея — Максвелла

Потокосцепление Y = NФ, где N — число витков, пронизываемых магнитным потоком Ф. Подставив выражение Y в формулу мгновенного значения ЭДС индукции, получим

При вращении рамки магнитный поток Ф, пронизывающий рамку в момент времени t, изменяется по закону Ф=ВS cosw t, где В — магнитная индукция; S — площадь рамки; w — угловая частота. Подставив в последнюю формулу выражение магнитного потока Ф и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции

Угловая частота w связана с частотой п вращения соотношением w=2p п. Подставив выражение угловой частоты в формулу ЭДС индукции и заменив w t на угол a, получим

Произведя вычисления по последней формуле, получим

Пример 11. На стержень из немагнитного материала длиной l =50 см намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится 20 витков. Определить энергию W магнитного поля внутри соленоида, если сила тока I в обмотке равна 0,5 А. Площадь S сечения стержня равна 2 см².

Решение. Энергия магнитного поля соленоида с индуктивностью L, по обмотке которого течет ток I, выражается формулой

Индуктивность соленоида в случае немагнитного сердечника зависит только от числа витков на единицу длины и от объема V сердечника: L=μ₀n²V, где μ₀ —магнитная постоянная. Подставив выражение индуктивности L в формулу энергии магнитного поля, получим

Учтя, что V=lS, тогда запишем формулу энергии магнитного поля следующим образом

Сделав вычисления по последней формуле, найдем

ЗАДАЧИ

1. На нитях длиной L =20 см каждая подвешены в одной точке два шарика массой m =0,l г каждый. Получив одинаковый заряд, шарики разошлись так, что нити образовали между собой угол a=60°. Найти заряд каждого шарика.

2. Какой заряд q нужно сообщить каждому из двух одинаковых шариков массой m =l г каждый, чтобы сила взаимного отталкивания зарядов уравновесила силу взаимного притяжения шариков по закону тяготения Ньютона? Рассматривать шарики как материальные точки.

3. Два точечных заряда q₁ =l мкКл и q₂ = q₁ находятся на расстоянии 10 см друг от друга. Определить силу F, действующую на точечный заряд q =0,1 мкКл, удаленный на r₁ =6 см от первого и на r₂ =8 см от второго зарядов.

4. Тонкий стержень длиной l =10 см равномерно заряжен. Линейная плотность t заряда равна 1 мкКл/м. На продолжении оси стержня на расстоянии а =20 см от ближайшего его конца находится точечный заряд q =100 нКл. Определить силу F взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда

5. Два одинаковых проводящих заряженных шара находятся на расстоянии r =30 см. Сила притяжения F₁ шаров равна 90 мкН. После того как шары были приведены в соприкосновение и удалены друг от друга на прежнее расстояние, они стали отталкиваться с силой F₂ =160 мкН. Определить заряды q₁ и q₂, которые были на шарах до их соприкосновения. Диаметр шаров считать много меньшим расстояния между ними.

6. В центр квадрата, в каждой вершине которого находится заряд q =2,33 нКл, помещен отрицательный заряд q ₀. Найти этот заряд, если на каждый заряд q действует результирующая сила F= 0.

7. Тонкая нить длиной l =20 см равномерно заряжена с линейной плотностью t=10 нКл/м. На расстоянии а =10 см от нити, против ее середины, находится точечный заряд q =l нКл. Вычислить силу F, действующую на этот заряд со стороны заряженной нити.

8. Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью t=10 мкКл/м. Какова сила F, действующая на точечный заряд q =10 нКл, находящийся на расстоянии а =20 см от стержня, вблизи его середины?

9. Три одинаковых заряда q =l нКл каждый расположены по вершинам равностороннего треугольника. Какой отрицательный заряд q₁ нужно поместить в центре треугольника, чтобы его притяжение уравновесило силы взаимного отталкивания зарядов?

10. Тонкое кольцо радиусом R =10 см несет равномерно распределенный заряд q =0,l мкКл. На перпендикуляре к плоскости кольца, восставленном из его середины, находится точечный заряд q₁ =10 нКл. Определить силу F, действующую на точечный заряд q со стороны заряженного кольца, если он удален от центра кольца на: 1) l₁ =20 см; 2) l₂ =2 м.

11. Расстояние d между двумя точечными зарядами q₁ =+8 нКл и q₂ = –5,3 нКл равно 40 см. Вычислить напряженность Е поля в точке, лежащей посередине между зарядами. Чему будет равна напряженность, если второй заряд будет положительным?

12. Два точечных заряда q₁ =2 q и q₂ = – q находятся на расстоянии d друг от друга. Найти положение точки на прямой, проходящей через эти заряды, напряженность Е поля в которой равна нулю.

13. Полусфера несет заряд, равномерно распределенный с поверхностной плотностью s=1,нКл/м². Найти напряженность Е электрического поля в геометрическом центре полусферы.

14. На металлической сфере радиусом R =10 см находится заряд q =l нКл. Определить напряженность Е электрического поля в следующих точках: 1) на расстоянии r₁ =8 см от центра сферы; 2) на ее поверхности; 3) на расстоянии r₂ =15 см от центра сферы.

15. Две длинные одноименно заряженные нити расположены на расстоянии r =10 см друг от друга. Линейная плотность заряда на нитях t₁=t₂=10 мкКл/м. Найти модуль и направление напряженности резльтирующего электрического поля в точке, находящейся на расстоянии a =10 см от каждой нити.

16. Электрическое поле создано двумя бесконечными параллельными пластинами, несущими равномерно распределенный по площади заряд с поверхностными плотностями s ₁ =2 нКл/м² и s ₂ = –5 нКл/м². Определить напряженность Е поля: 1) между пластинами; 2) вне пластин.

17. Две бесконечные параллельные пластины равномерно заряжены с поверхностной плотностью s ₁ =10 нКл/м² и s ₂ =–30 нКл/м². Определить силу взаимодействия между пластинами, приходящуюся на площадь S, равную 1 м³.

18. Медный шар радиусом R =0,5 см помещен в масло. Плотность меди r₁=8,6·10³ кг/м³, плотность масла r₂=0,8·10³ кг/м³. Найти заряд шара, если в однородном электрическом поле шар оказался взвешенным в масле. Электрическое поле направлено вертикально вверх и его напряженность Е =3,6 МВ/м.

19. Между пластинами плоского конденсатора находится точечный заряд q =30 нКл. Поле конденсатора действует на заряд с силой F₁ =10 мН. Определить силу F₂ взаимного притяжения пластин, если площадь S каждой пластины равна 100 см².

20. Электрическое поле создано точечным зарядом q =0,1 мкКл. Определить поток Ф_D электрического смещения через круглую площадку радиусом R =30 см. Заряд равноудален от краев площадки и находится на расстоянии а =40 см от ее центра.

21. Вычислить потенциальную энергию W _п системы двух точечных зарядов q ₁=100 нКл и q ₂ =10 нКл, находящихся на расстоянии d =10 см друг от друга.

22. На отрезке тонкого прямого проводника равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ=10 нКл/м. Вычислить потенциал φ, создаваемый этим зарядом в точке, расположенной на оси проводника и удаленной от ближайшего конца отрезка на расстояние, равное длине этого отрезка.

23. Тонкий стержень длиной l= 10см несет равномерно распределенный заряд q =1нКл. Определить потенциал τ электрического поля в точке, лежащей на оси стержня на расстоянии а =20 см от ближайшего его конца.

24. Металлический шар радиусом R= 5см несет заряд q =1 нКл. Шар окружен слоем эбонита толщиной d= 2 см. Вычислить потенциал φ электрического поля на расстоянии: 1) r ₁=3 см; 2) r ₂=6 см; 3) r ₃=9 см от центра шара.

25. Две бесконечные параллельные плоскости находятся на расстоянии d= 0,5см друг от друга. На плоскостях равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями σ ₁ =0,2мкKл/M и σ₂= -0,3 мкКл/м². Определить разность потенциалов U между плоскостями.

26. Сто одинаковых капель ртути, заряженных до потенциала φ=20 В, сливаются в одну каплю. Каков потенциал φ₁ образовавшейся капли?

27. Сплошной парафиновый шар радиусом R= 10см равномерно заряжен с объемной плотностью ρ=l мкКл/м^З. Определить потенциал φ электрического поля в центре шара и на его поверхности.

28. Тонкий стержень согнут в кольцо радиусом R= 10см. Он заряжен с линейной плотностью τ =300 нКл/м. Какую работу А надо совершить, чтобы перенести заряд q=5 нКл из центра кольца в точку, расположенную на оси кольца на расстоянии l =20 см от его центра?

29. Электрон, летевший горизонтально со скоростью ν₀ = l,6 Мм/с, влетел в однородное электрическое поле с напряженностью Е= 90В/см, направленное вертикально вверх. Какова будет по модулю и направлению скорость v электрона через 1 нс?

30. Пылинка массой т= 1 пг, несущая на себе пять электронов, прошла в вакууме ускоряющую разность потенциалов U =3 МВ. Какова кинетическая энергия W_K пылинки? Какую скорость νприобрела пылинка?

31. Определить напряженность Е и потенциал φ поля, создаваемого диполем с электрическим моментом р= 4пКл·м на расстоянии r =10 см от центра диполя, в направлении, составляющем угол α=60˚с вектором электрического момента.

32. Два диполя с электрическими моментами p _l=1 пКл·м и р ₂ = 4пКл·м находятся на расстоянии r =2 см друг от друга. Найти силу их взаимодействия, если оси диполей лежат на одной прямой.

33. Диполь с электрическим моментом р= 100пКл·м свободно устанавливается в однородном электрическом поле напряженностью Е= 150кВ/м. Вычислить работу А, необходимую для того, чтобы повернуть диполь на угол α= 180º.

34. Диполь с электрическим моментом р= 100 пКл·м Свободно установился в однородном электрическом поле напряженностью Е= 10 кВ/м. Определить изменение потенциальной энергии ΔW диполя при повороте его на угол α = 60º.

35. Расстояние d между пластинами плоского конденсатора равно 2 мм, разность потенциалов U= 1,8кВ. Диэлектрик - стекло. Определить диэлектрическую восприимчивость c стекла и поверхностную плотность σ' поляризационных (связанных) зарядов на поверхности стекла.

36. Диэлектрик поместили в электрическое поле напряженностью Е ₀ = 20 кB/м.Чему равна поляризованность P диэлектрика, если напряженность Е среднего макроскопического поля в диэлектрике оказалась равной 4 кB/м?

37. Определить, при какой напряженности Е среднего макроскопического поля в диэлектрике (ε=3) поляризованность Р достигнет значения, равного 200 мкKл/м².

38. Металлический шар радиусом R=5 cм окружен равномерно слоем фарфора толщиной d= 2см. Определить поверхностные плотности σ'₁ и σ'₂ связанных зарядов соответственно на внутренней и внешней поверхностях диэлектрика. Заряд q шара равен 10 нКл.

39. Диполь с электрическим моментом р= 5пКл·м свободно установился в поле точечного заряда q =100 нКл на расстоянии r= 10см от него. Определить для этой точки величину |d E/ d r |, характеризующую степень неоднородности поля в направлении силовой линии, и силу F, действующую на диполь.

40. Эбонитовая плоскопараллельная пластина помещена в однородное электрическое поле напряженностью Е ₀ = 2МВ/м. Грани пластины перпендикулярны линиям напряженности. Определить поверхностную плотность σ' связанных зарядов на гранях пластины.

41. Два металлических шара радиусами R ₁ = 2см и R ₂ = 6см соединены проводником, емкостью которого можно пренебречь. Шарам сообщен заряд q = 1 нКл. Найти поверхностную плотность σ зарядов на шарах.

42. Шар радиусом R ₁ = 6см заряжен до потенциала φ₁=300 В, а шар радиусом R ₂ = 4см - до потенциала φ₂=500 В. Определить потенциал φ шаров после того, как их соединили металлическим проводником. Емкостью соединительного проводника пренебречь.

43. Между пластинами плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов U =600 В, находятся два слоя диэлектриков: стекла толщиной d ₁ = 7мм и эбонита толщиной d ₂ = 3мм. Площадь S каждой пластины конденсатора равна 200 см². Найти: 1) электроемкость С конденсатора; 2) смещение D, напряженность Е поля и падение потенциала Δφ в каждом слое.

44. Расстояние d между пластинами плоского конденсатора равно 1,33 мм, площадь S пластин равна 20 см². В пространстве между пластинами конденсатора находятся два слоя диэлектриков: слюды толщиной d ₁ = 0,7мм и эбонита толщиной d ₂ = 0,3мм. Определить электроемкость С конденсатора.

45. Конденсатор электроемкостью С ₁=0,6 мкФ был заряжен до разности потенциалов U ₁ = 300В и соединен со вторым конденсатором электроемкостью С ₂=0,4 мкФ, заряженным до разности потенциалов U ₁ = 150В. Найти заряд Δ q, перетекший с пластин первого конденсатора на второй.

46. Две концентрические металлические сферы радиусами R _l = 2см и R ₂ = 2,1см образуют сферический конденсатор. Определить его электроемкость С, если пространство между сферами заполнено парафином.

47. Конденсатор состоит из двух концентрических сфер. Радиус R _l внутренней сферы равен 10 см, внешней R ₂ = 10,2см, Промежуток между сферами заполнен парафином. Внутренней сфере сообщен заряд q= 5мкКл. Определить разность потенциалов U между сферами.

48. Два конденсатора электроемкостями С ₁ = 3мкФ и С ₂ = 6 мкФ соединены между собой и присоединены к батарее с ЭДС. ε= 120В. Определить заряды q ₁ и q ₂ конденсаторов и разности потенциалов U ₁ и U ₂ между их обкладками, если конденсаторы соединены: 1) параллельно; 2) последовательно.

49. Конденсатор электроемкостью С ₁ = 0,2мкФ был заряжен, до разности потенциалов U ₁ = 320В. После того как его соединили параллельно со вторым конденсатором, заряженным до разности потенциалов U₂= 450В, напряжение U на нем изменилось до 400 В. Вычислить емкость С ₂ второго конденсатора.

50. К воздушному конденсатору, заряженному до разности потенциалов U =600 в и отключенному от источника напряжения, присоединили параллельно второй незаряженный конденсатор таких же размеров и формы, но с диэлектриком (фарфор). Определить диэлектрическую проницаемость ε фарфора, если после присоединения второго конденсатора разность потенциалов уменьшилась до U ₁ = 100В.

51. Расстояние d между пластинами плоского конденсатора равно 2 см, разность потенциалов U= 6кВ. Заряд Q каждой пластины равен 10 нКл. Вычислить энергию W поля конденсатора и силу F взаимного притяжения пластин.

52. Плоский воздушный конденсатор состоит из двух круглых пластин радиусом r =10 см каждая. Расстояние d ₁ между пластинами равно 1см. Конденсатор зарядили до разности потенциалов U =1,2 кВ и отключили от источника тока. Какую работу А нужно совершить, чтобы, удаляя пластины друг от друга, увеличить расстояние между ними до d ₂=3,5 см?

53. Плоский воздушный конденсатор электроемкостью С =1,11 нФ заряжен до разнести потенциалов U = 300В. После отключения от источника тока расстояние между пластинами конденсатора было увеличено в пять раз. Определить: l) разность потенциалов U на обкладках конденсатора после их раздвижения; 2) работу А^¢ внешних сил по раздвижению пластин.

54. Конденсаторы электроемкостями С ₁ = 1мкФ, С ₂ = 2мкФ, С₃=3 мкФ включены в цепь с напряжением U = 1,1кВ. Определить энергию каждого конденсатора в случаях: 1) последовательного их включения; 2) параллельного включения.

55. Пластину из эбонита толщиной d= 2мм и площадью S= 300 см² поместили в однородное электрическое поле напряженностью Е= 1 кВ/м, расположив так, что силовые линии перпендикулярны ее плоской поверхности. Найти: 1) плотность σ' связанных зарядов на поверхности пластин; 2) энергию W электрического поля, сосредоточенную в пластине.

56. Уединенная металлическая сфера электроемкостью С =10 пФ заряжена до потенциала φ=3 кВ. Определить энергию W поля, заключенного в сферическом слое, ограниченном сферой и концентрической с ней сферической поверхностью, радиус которой в три раза больше радиуса сферы.

57. Сплошной парафиновый шар радиусом R= 10см заряжен равномерно по объему с объемной плотностью ρ=10нКл/м³. Определить энергию W ₁электрического поля, сосредоточенную в самом шаре, и энергию W ₂вне его.

58. Эбонитовый шар равномерно заряжен по объему. Во сколько раз энергия электрического поля вне шара превосходит энергию поля, сосредоточенную в шаре?

59. Электрическое поле создано заряженной (Q= 0,1мкКл) сферой радиусом R= 10см. Какова энергия W поля, заключенная в объеме, ограниченном сферой и концентрической с ней сферической поверхностью, радиус которой в два раза больше радиуса сферы?

60. Уединенный металлический шар радиусом R ₁ = 6см несет заряд q. Концентрическая этому шару поверхность делит пространство на две части (внутренняя конечная и внешняя бесконечная), так что энергии электрического поля обеих частей одинаковы. Определить радиус R ₂этой сферической поверхности.

61. Вычислить сопротивление R графитового проводника, изготовленного в виде прямого кругового усеченного конуса высотой h= 20 см и радиусами оснований, r ₁ = 12 мм и r ₂=8 мм. Температура t проводника равна 20 ˚С.

62. На одном конце цилиндрического медного проводника сопротивлением R ₀ = 10 Ом (при 0 ˚С) поддерживается температура t ₁ = 20˚С, на другом t ₂ = 400 ˚С. Найти сопротивление R проводника, считая градиент температуры вдоль егооси постоянным.

63. К источнику тока с ЭДС ε= 1,5В присоединили катушку с сопротивлением R= 0,1Ом. Амперметр показал силу тока, равную I ₁=0,5 А. Когда к источнику тока присоединили последовательно еще один источник тока с такой же ЭДС, то сила тока I в той же катушке оказалась равной 0,4 А. Определить внутренние сопротивления r ₁ и r ₂ первого и второго источников тока.

64. Три батареи с ЭДС ε ₁ = 12 В, ε ₂ = 5 В и ε= 10 В и одинаковыми внутренними сопротивлениями r, равными 1 Ом, соединены между собой одноименными полюсами. Сопротивление соединительных проводов ничтожно мало. Определить силы токов I, идущих через каждую батарею.

65. К батарее аккумуляторов, ЭДС ε которой равна 2 В и внутреннее сопротивление r= 0,5 Ом, присоединен проводник. Определить: 1) сопротивление R проводника, при котором мощность, выделяемая в нем, максимальна; 2) мощность Р, которая при этом выделяется в проводнике.

66. К зажимам батареи аккумуляторов присоединен нагреватель. ЭДC ε батареи равна 24 В. Внутреннее сопротивление r =1 Ом. Нагреватель, включенный в цепь, потребляет мощность P =80 Вт. Вычислить силу тока I в цепи и КПД η нагревателя.

67. По проводнику сопротивлением R= 3Ом течет ток, сила которого равномерно возрастает со временем. Количество теплоты Q, выделившееся в проводнике за, время τ=8 с, равно 200 Дж. Определить количество электричества q, протекшее за это время по проводник. В момент времени, принятый за начальный, сила тока в проводнике равна нулю.

68. Сила тока в проводнике сопротивлением R= 15 Ом равномерно возрастает от I ₀=0 до некоторого максимального значения в течение времени τ=5 с. За это время в проводнике выделилось количество теплоты Q =10 кДж. Найти среднюю силу тока < I> в проводнике за этот промежуток времени.

69. Сила тока в проводнике равномерно увеличивается от I ₀=0 до некоторого максимального значения в течение времени τ=10 с. За это время в проводнике выделилось количество теплоты Q= 1кДж. Определить скорость нарастания тока в проводнике, если сопротивление R его равно 3 Ом.

70. Обмотка электрического кипятильника имеет две секции. Если включена только первая секция, то вода закипает через t ₁ = 15 мин, если только вторая, то через t ₂=30 мин. Через сколько минут закипит вода, если обе секции включить последовательно? параллельно?

71. В медном проводнике длиной l= 2 ми площадью S поперечного сечения, равной 0,4 мм², идет ток. При этом ежесекундно выделяется количество теплоты Q =0,35 Дж. Сколько электронов N проходит за 1 с через поперечное сечение этого проводника?

72. В медном проводнике объемом V =6 см³ при прохождении по нему постоянного тока за время t= lмин выделилось количество теплоты Q =216 Дж. Вычислить напряженность Е электрического поля в проводнике.

73. Медный диск радиусом R =0,5 м равномерно вращается (w = 10⁴ рад/с) относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. Определить разность потенциала U между центром диска и его крайними точками.

74. Определить объемную плотность тепловой мощности w в металлическом проводнике, если плотность тока j= 10 А/мм². Напряженность Е электрического поля в проводнике равна 1 мВ/м.

75. Определить скорость положительных и отрицательных ионов азота, находящихся в атмосферном воздухе на расстоянии r =2 см от оси длинного прямого провода, на котором равномерно распределен заряд с линейной плотностью t=10^-10 Кл/см. Подвижность положительных и отрицательных ионов азота b ₊ = 1,27·10^-4 м²/(В с) и b _- = 1,81·10^-4 м²/(В с).

76. Площадь каждого электрода ионизационной камеры S =0,01 м², расстояние между ними d =6,2 см. Найти силу тока насыщения I _н в такой камере, если в единицу времени образуется число однозарядных ионов каждого знака N =10¹⁵ м^-3·с^-1.

77. При ионизации воздуха образуются одновалентные ионы. Определить их концентрацию, если при напряженности поля Е =1 кВ/м плотность тока j =6·10⁼⁶ А/м². Подвижности положительных и отрицательных ионов соответственно равны b ₊ = 1,4·10^-4 м²/(В с) и b _- = 1,9·10^-4 м²/(В с).

78. В ионизационной камере, расстояние d между плоскими электродами которой равно 5 см, проходит ток насыщения плотностью j =16 мкА/м². Определить число п пар ионов, образующихся каждом кубическом сантиметре пространства камеры в 1 с.

79. Какой наименьшей скоростью v_min должен обладать электрон, чтобы ионизировать атом азота, если потенциал ионизации U_i азота равен 14,5 В?

80. Посередине между электродами ионизационной камеры пролетела a - частица, двигаясь параллельно электродам, и образовала вала на своем пути цепочку ионов. Спустя какое время после пролета a-частицы ионы дойдут до электродов, если расстояние d между электродами равно 4 см, разность потенциалов U= 5кВ и подвижность ионов обоих знаков в среднем b= 2см²/(В ^. с)?

81. При какой силе тока I, текущего по тонкому проводящему кольцу радиусом R= 0,2м,магнитная индукция Вв точке, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние г=0,3 м, станет равной 20 мкТл?

82. Катушка длиной l =20 см содержит N= 100витков. По обмотке катушки идет ток 1 =5А. Диаметр d катушки равен 20 см. Определить магнитную индукцию В в точке, лежащей на оси катушки на расстоянии а =10 см от ее конца.

83. Определить максимальную магнитную индукцию B _max поля, создаваемого электроном, движущимся прямолинейно со скоростью v =10Мм/с, в точке, отстоящей от траектории на расстоянии d= 1нм.

84. По тонкому проволочному кольцу течет ток. Не изменяя силы тока в проводнике, ему придали форму квадрата. Во сколько раз изменилась магнитная индукция в центре контура?

85. По тонкому проводу, изогнутому в виде прямоугольника, течет ток I =60 А. Длины сторон прямоугольника равны а =30 см и b =40 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения диагоналей.

86. Тонкий провод изогнут в виде правильного шестиугольника. Длина d стороны шестиугольника равна 10 см. Определить магнитную индукцию В в центре шестиугольника, если по проводу течет ток I =25А.

87. По контуру в виде равностороннего треугольника идет ток I =40 А. Длина а стороны треугольника равна 30 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения высот.

88. По контуру в виде квадрата идет ток I =50 А. Длина а стороны квадрата равна 20 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения диагоналей.

89. Бесконечно длинный прямой провод согнут под прямым углом. По проводу течет ток I =100 А. Вычислить магнитную индукцию В в точках, лежащих на биссектрисе угла и удаленных от вершины угла на а =10 см.

90. По бесконечно длинному прямому проводу, согнутому под углом α=120°, течет ток I =50 А. Найти магнитную индукцию В в точках, лежащих на биссектрисе угла и удаленных от вершины его на расстояние а=5 см.

91. Тонкий провод в виде дуги, составляющей треть кольца радиусом R = 15 см, находится в однородном магнитном поле (В =20 мТл). По проводу течет ток I =30 А. Плоскость, в которой лежит дуга, перпендикулярна линиям магнитной индукции, и подводящие провода находятся вне поля. Определить силу F, действующую на провод.

92. Ток I = 20 А, протекая по кольцу из медной проволоки сечением S =1 мм², создает в центре кольца напряженность магнитного поля Н =178 А/м. Какая разность потенциалов U приложена к концам проволоки, образующей кольцо?

93. По кольцу радиусом R течет ток. На оси кольца на расстоянии d= 1 м от его плоскости магнитная индукция В= 10 нТл. Определить магнитный момент р_т кольца с током. Считать R много меньшим d.

94. Напряженность H магнитного поля в центре круговой витка равна 200 А/м. Магнитный момент р_т витка равен 1 А·м² Вычислить силу тока I в витке и радиус R витка.

95. Тонкий провод в виде кольца массой т=3 г свободно подвешен на неупругой нити в однородном магнитном поле. По кольцу течет ток I=2 А. Период Т малых крутильных колебаний относительно вертикальной оси равен 1,2 с. Найти магнитную индукцию В поля.

96. Короткая катушка площадью S поперечного сечения, равной 150 см², содержит N=200 витков провода, по которому течет ток I= 4А. Катушка помещена в однородное магнитное поле напряженностью H= 8 кА/м. Определить магнитный момент р_т катушки, а также вращающий момент М, действующий на нее со стороны поля, если ось катушки составляет угол α=60° с линиями индукции.

97. Магнитное поле создано бесконечно длинным проводником с током I =100 А. На расстоянии а=10 см от проводника находится точечный диполь, вектор магнитного момента (р_т= 1мА·м²) которого лежит в одной плоскости с проводником и перпендикулярен ему. Определить силу F, действующую на магнитный диполь.

98. Два круговых витка расположены в двух взаимно перпендикулярных плоскостях так, что центры этих витков совпадают. Радиус каждого витка R =2 см, токи в витках I ₁= I ₂=5 А. Найти индукцию В магнитного поля в центре этих витков.

99. Два прямолинейных длинных проводника расположены параллельно на расстоянии d =10 см друг от друга. По проводникам текут токи I ₁= I ₂=5 А. Найти модуль и направление напряженности магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии а =10 см от каждого проводника.

100. Два круговых витка с током лежат в одной плоскости и имеют общий центр. Радиусы витков R ₁=12 см R ₂=8 см. Напряженность магнитного поля в ценре витков равна 50 кА/м, если токи в витках текут в одном направлении, и нулю, если в противоположных. Определить силы токов, текущих по круглвым виткам.

101. Рамка гальванометра длиной а=4 см и шириной b =1,5 см, содержащая N= 200витков тонкой проволоки, находится в магнитном поле с индукцией B =0,1 Тл. Плоскость рамки параллельна линиям индукции. Найти: 1) механический момент М, действующий на рамку, когда по витку течет ток I= 1мА; 2) магнитный момент р_т рамки при этом токе.

102. Частица, несущая один элементарный заряд, влетела в однородное магнитное поле с индукцией B =0,5 Тл. Определить момент импульса L, которым обладала частица при движении в магнитном поле, если ее траектория представляла дугу окружности радиусом R =0,2 см.

103. Электрон движется в магнитном поле с индукцией B =0,02 Тл по окружности радиусом R= 1 см. Определить кинетическую энергию W_K электрона (в джоулях и электрон-вольтах).

104. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U =600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией B =0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить ее радиус R..

105. Электрон движется в однородном магнитном поле напряженностью H =4 кА/м со скоростью v =10 Мм/с. Вектор скорости направлен перпендикулярно линиям напряженности. Найти силу F, с которой поле действует на электрон, и радиус R окружности, по которой он движется.

106. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В =9 мТл по винтовой линии, радиус R которой равен 1 см и шаг h =7,8 см. Определить период Т обращения электрона и его скорость u.

107. Перпендикулярно магнитному полю с индукцией В =0,1 Тл возбуждено электрическое поле напряженностью Е =100 кВ/м. Перпендикулярно обоим полям движется, не отклоняясь от прямолинейной траектории, заряженная частица. Вычислить скорость u частицы.

108. Протон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U =800 В, влетает в однородные, скрещенные под прямым углом магнитное (В=50 мТл) и электрическое поля. Определить напряженность Е электрического поля, если протон движется в скрещенных полях прямолинейно.

109. Вычислить скорость v и кинетическую энергию W_K a-частиц, выходящих из циклотрона, если, подходя к выходному окну, ионы движутся по окружности радиусом R =50 см. Индукция В магнитного поля циклотрона равна 1,7 Тл.

110. Два иона, имеющие одинаковый заряд, но различные массы, влетели в однородное магнитное поле. Первый ион начал двигаться по окружности радиусом R ₁=5 см, второй ион — по окружности радиусом R ₂ =2,5 см. Найти отношение m ₁/ m ₂ масс ионов, если они прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов.

111. Вычислить циркуляцию вектора магнитной индукции вдоль контура, охватывающего токи I ₁=10 А, I ₂=15 А, текущие в одном направлении, и ток I₃ =20 А, текущий в противоположном направлении.

112. По сечению проводника равномерно распределен ток плотностью j =2 МА/м². Найти циркуляцию вектора напряженности вдоль окружности радиусом R =5мм, проходящей внутри проводника и ориентированной так, что ее плоскость составляет угол a=30° с вектором плотности тока.

113. При двукратном обводе магнитного полюса вокруг проводника с током I =100А была совершена работа A =1 мДж. Найти магнитный поток Ф, создаваемый полюсом.

114. Тороид квадратного сечения содержит N= 1000 витков. Наружный диаметр D тороида равен 40 см, внутренний d =20 см. Найти магнитный поток Ф в тороиде, если сила тока I, протекающего по обмотке, равна 10 А.

115. Два прямолинейных длинных параллельных проводника находятся на расстоянии d ₁=10 см друг от друга. По проводникам в одном направлении текут токи I ₁=20 А и I ₂=30 А. Какую работу (на единицу длины прводников) надо совершить, чтобы раздвинуть их до расстояния d ₂=20 см?

116. По соленоиду течет ток силой I =1 А.Магнитный поток, пронизывающий поперечное сечение сердечника, равен 2 мкВб. Определить индуктивность соленоида, если он имеет 500 витков.

117. Соленоид длиной l =1 м и сечением S =16 см² содержит N =2000 витков. Вычислить потокосцепление Y при силе тока I в обмотке 10 А.

118. Плоская квадратная рамка со стороной a =20 см лежит в одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течет ток I =100А. Рамка расположена так, что ближайшая к проводу сторона параллельна ему и находится на расстоянии l =10 см от провода. Определить магнитный поток Ф, пронизывающий рамку.

119. Плоский контур, площадь S которого равна 300 см², находится в однородном магнитном поле с индукцией В =0,01 Тл. Плоскость контура перпендикулярна линиям индукции. В контуре поддерживается неизменный ток I =10 А. Определить работу А внешних сил по перемещению контура с током в область пространства, магнитное поле в которой отсутствует.

120. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной длиной а =10 см, течет ток I =20 А, сила которого поддерживается неизменной. Плоскость квадрата составляет угол a=20° с линиями индукции однородного магнитного поля (В =0,1 Тл). Вычислить работу A, которую необходимо совершить для того, чтобы удалить провод за пределы поля.

121. В однородном магнитном поле с индукцией В=1 Тл находится прямой провод длиной l =20 см, концы которого замкнуты вне поля. Сопротивление R всей цепи равно 0,1 Ом. Найти силу F, которую нужно приложить к проводу, чтобы перемещать его перпендикулярно линиям индукции со скоростью v =2,5 м/с.

122. В однородном магнитном поле с индукцией B =0,4 Тл в плоскости, перпендикулярной линиям индукции поля, вращается стержень длиной l =10 см. Ось вращения проходит через один из концов стержня. Определить разность потенциалов U на концах стержня при частоте вращения n =16 с^-1.

123. В однородном магнитном поле с индукцией B =0,35 Тл равномерно с частотой n =480 мин^-1 вращается рамка, содержащая N= 500 витков площадью S =50см². Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Определить максимальную ЭДС индукции ε_max, возникающую в рамке.

124. Проволочное кольцо радиусом r =10 см лежит на столе. Какое количество электричества q протечет по кольцу, если его повернуть с одной стороны на другую? Сопротивление R кольца равно 1 Ом. Вертикальная составляющая индукции В магнитного поля Земли равна 50 мкТл.

125. Индуктивность L катушки равна 2 мГн. Ток частотой υ=50 Гц, протекающий по катушке, изменяется по синусоидальному закону. Определить среднюю ЭДС самоиндукции <e _i >, возникающую за интервал времени Δt, в течение которого ток в катушке изменяется от минимального до максимального значения. Амплитудное значение силы тока I₀ =10 А.

126. Катушка имеет индуктивность L =0,2 Гн и сопротивление R =1,64 Ом. Во сколько раз уменьшится ток в катушке через время t= 0,05 с после того, как ЭДС будет выключена?

127. Соленоид содержит N =1000 витков. Площадь S сечения сердечника равна 10см². По обмотке течет ток, создающий поле с индукцией В =1,5 Тл. Найти среднюю ЭДС индукции <e _i >, возникающей в соленоиде, если ток уменьшится до нуля за время t =500 мкс.

128. В цепи шел ток I =50 А. Источник тока можно отключить от цепи, не разрывая ее. Определить силу тока I в этой цепи через t =0,01 с после отключения ее от источника тока. Сопротивление R цепи равно 20 Ом, ее индуктивность L =0,l Гн.

129. Катушка имеет индуктивность L =0,144 Гн и сопротивление R =10 Ом. Через какое время t после включения в катушке потечет ток, равный половине установившегося?

130. На расстоянии а =1 м от длинного прямого повода с током силой I =1 кА находится кольцо радиусом r= 1 см. Кольцо расположено так, что поток, пронизывающий его, максимален. Сопротивление кольца R =10 Ом. Найти заряд, который протечет по кольцу, когда ток в проводнике будет выключен. Поле в пределах кольца считать однородным.

131. Соленоид содержит N =