ТУСУР, 12.04.2015. 1 курс

БИЛЕТ ОБЛАСТНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

ЗАДАЧА 1. Два самолёта движутся прямолинейно и равномерно. Неизвестно, являются ли их траектории пересекающимися или скрещивающимися прямыми. На самолётах вышли из строя системы, определяющие скорость и координаты в пространстве. Работает только радар, измеряющий расстояние до другого объекта в воздухе. Было сделано 3 измерения через равные промежутки времени ( = 0,1,2 сек.), зафиксированы расстояния . (причём , т.к. они сближаются). Вывести формулу для бортовой системы предотвращения столкновений, которая по этим параметрам вычислит минимальное расстояние между самолётами, которое будет достигнуто, если будет продолжено прямолинейное и равномерное движение.

ЗАДАЧА 2. Открывающаяся секция пластикового окна - прямоугольник со сторонами , причём . При вертикальном открывании секция держится на металлическом штыре длины равной (), который с одной стороны закреплён в углу неподвижной части, а с другой стороны скользит ровно до середины движущейся секции. Вычислить максимальный угол, на который открывается окно.

ЗАДАЧА 3. Вывести формулу расстояния по поверхности планеты между двумя городами, географические координаты которых и , где - широта (от

-90⁰ до 90⁰), - долгота (от 0⁰ до 360⁰). Планету считать идеальным шаром радиуса R.

ЗАДАЧА 4. Найти, какую максимальную долю объёма может занимать прямой круговой конус, вписанный в шар радиуса .

ЗАДАЧА 5. Для функции на множестве при каждом существует точка экстремума . Найти предельную точку этой последовательности: .

ЗАДАЧА 6. На прямой при любом параметре есть точка, ближайшая к точке (С,0). Найти неявное уравнение кривой, которую образуют все такие точки при .

Желаем успеха! На странице vk.com/tusur120415 решения и результаты проверки будут в воскресенье вечером.

2015 1 курс

ЗАДАЧА 1. Два самолёта движутся прямолинейно и равномерно. Неизвестно, являются ли их траектории пересекающимися или скрещивающимися прямыми. На самолётах вышли из строя системы, определяющие скорость и координаты в пространстве. Работает только радар, измеряющий расстояние до другого объекта в воздухе. Было сделано 3 измерения через равные промежутки времени ( = 0,1,2 сек.), зафиксированы расстояния . (причём , т.к. они сближаются). Вывести формулу для бортовой системы предотвращения столкновений, которая по этим параметрам вычислит минимальное расстояние между самолётами, которое будет достигнуто, если будет продолжено прямолинейное и равномерное движение.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 1.

Пусть и координаты первого и второго объекта в начальный момент времени, и - векторы скорости этих объектов, тогда квадрат расстояния между ними как функция от времени :

После раскрытия скобок получится квадратный трёхчлен вида . Известно, что парабола полностью определяется своими значениями в трёх различных точках. Таким образом, для 3 различных измерений расстояния можно определить расстояние между объектами в любой последующий момент времени, а значит, вычислить минимум расстояния (и время, в которое он будет достигаться). Измеренные расстояния в моменты времени 0,1,2 сек. равны соответственно , тогда коэффициенты в уравнении квадрата расстояния между объектами могут быть вычислены из системы линейных уравнений с неизвестными (для =0,1,2 соответственно):

Из первого выразим , тогда система сводится к системе двух уравнений:

Решая эту систему методом Гаусса, получаем:

, .

Теперь известны все коэффициенты функции , можно вычислить время, при котором достигается минимальное сближение. Вершина параболы имеет абсциссу , поэтому . Квадрат минимального расстояния, достигаемый в указанный момент времени: = = = = . Тогда .

Ответ: .

Примечание. Если правильно найдено , но в конце забыт квадратный корень, оценить 9 баллов.

ЗАДАЧА 2. Открывающаяся секция пластикового окна - прямоугольник со сторонами , причём . При вертикальном открывании секция держится на металлическом штыре длины равной (), который с одной стороны закреплён в углу неподвижной части, а с другой стороны скользит ровно до середины движущейся секции. Вычислить максимальный угол, на который открывается окно.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 2.

На чертеже 2 видно, что , . Вычислим по теореме Пифагора расстояние от угловой точки неподвижной части до середины открывающейся секции в зависимости от . В проекции на плоскость, перпендикулярную повороту, это расстояние , составляющее , При этом также видно, что .

Тогда

Но при этом по условию, , поэтому: .

Далее преобразуем это выражение, чтобы выразить .

, ,

, = .

Ответ: .

ЗАДАЧА 3. Вывести формулу расстояния по поверхности планеты между двумя городами, географические координаты которых и , где - широта (от -90⁰ до 90⁰), - долгота (от 0⁰ до 360⁰). Планету считать идеальным шаром радиуса R.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 3.

Найдём формулы перехода от декартовых координат к географическим.

Проекция на ось Oz соответствует sin широты, . Тогда проекция на плоскость Oxy есть , а она проецируется ещё на оси x,y.

Имеем .

(Как сферические координаты, только отмеряется от экватора, а не северного полюса).

Теперь проведём два радиус-вектора к двум данным точкам планеты из её центра.

= .

= .

Скалярное произведение равно произведению модулей на косинус угла. Таким образом, угол равен . Также верно = = , т.к. обе точки расположены на поверхности планеты.

= =

=

.

= =

- угол между векторами, проведёнными из центра планеты к двум точкам с данными географическими координатами. Чтобы найти расстояние, нужно этот угол умножить на радиус планеты, то есть .

В итоге .

(Если угол максимален, , получается , половина длины окружности).

Ответ. .

ЗАДАЧА 4. Найти, какую максимальную долю объёма может занимать прямой круговой конус, вписанный в шар радиуса .

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 4.

Объём шара равен, как известно, . Для вписанного в шар конуса, высота и радиус взаимосвязаны между собой. Расстояние от центра основания конуса до центра шара есть (см.чертёж - вид сбоку, на чертеже это ОС). Отрезок ВС на чертеже равен - радиусу основания конуса. Далее, по теореме Пифагора (ОС)²+(ВС)² = (ОВ)².

То есть, , следовательно, , ,

, . По известным формулам, объём конуса равен , а площадь основания , тогда , = .

Найдём экстремум по .

, , . При этом значении объём конуса равен = = = = = .

Нужно найти отношение объёма конуса к объёму шара, поэтому поделим друг на друга объёмы этих тел: = = .

ОТВЕТ. Максимальная доля объёма, занимаемая вписанным конусом в шаре, .

ЗАДАЧА 5. Для функции на множестве при каждом существует точка экстремума . Найти предельную точку этой последовательности: .

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 5.

Необходимо сначала найти экстремум для произвольного n.

Прологарифмируем исходное выражение: = .

Тогда = = = =

. Обращаться в 0 на правой полуоси может только множитель , поэтому экстремум достигается при , то есть

, . Итак, для n получили . При этом ордината

, = = .

При этом оказалось, что ордината не зависит от n.

. Предел нужно вычислить только по первой координате, так как вторая есть константа. поэтому = . ОТВЕТ. Точка .

Ниже для сведения показаны графики этих функций. Экстремум смещается вправо при увеличении n, но остаётся на той же самой высоте.

ОТВЕТ. Предельной является точка .

ЗАДАЧА 6. На прямой при любом параметре есть точка, ближайшая к точке (С,0). Найти неявное уравнение кривой, которую образуют все такие точки при .

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 6.

Пусть точка является ближайшей к (С,0). Тогда вектор , расположенный на прямой, перпендикулярен вектору, соединяющему точку с точкой , то есть вектору

. Скалярное произведение векторов и равно 0, то есть

. Отсюда можно найти абсциссу точки, которая является ближайшей к указанной. , . Тогда . Это параметрические уравнения кривой. Чтобы найти неявное уравнение кривой, нужно устранить зависимость от параметра, то есть выразить из одного уравнения и подставить во второе. Из первого уравнения: , , .

= = =

тогда , , , выделим полный квадрат: , .

Таким образом, кривая, состоящая из точек, являющихся ближайшими к (С,0), есть окружность с центром в точке радиуса .

ОТВЕТ. окружность с центром в точке радиуса .