2015-06-04
902
Пусть требуется вычислить двойной интеграл 
, где область 
— прямоугольник, определяемый неравенствами 
, 
.
Предположим, что 
непрерывна в этом прямоугольнике и принимает в нем неотрицательные значения, тогда данный двойной интеграл равен объему тела с основанием , ограниченного сверху поверхностью 
, с боков — плоскостями 
, 
, 
, 
:
.
С другой стороны, объем такой фигуры можно вычислить с помощью определенного интеграла:
,
где 
— площадь сечения данного тела плоскостью, проходящей через точку и перпендикулярной к оси 
. А так как рассматриваемое сечение является криволинейной трапецией 
, ограниченной сверху графиком функции 
, где фиксировано, а , то
.
Из этих трех равенств следует, что
.
Итак, вычисление данного двойного интеграла свелось к вычислению двух определенных интегралов; при вычислении «внутреннего интеграла» (записанного в скобках) считается постоянным.
Замечание. Можно доказать, что последняя формула верна и при 
, а также в случае, когда функция меняет знак в указанном прямоугольнике.
Правая часть формулы называется повторным интегралом и обозначается так:
.
Аналогично можно показать, что
.
Из выше сказанного следует, что
.
Последнее равенство означает, что результат интегрирования не зависит от порядка интегрирования.
Чтобы рассмотреть более общий случай, введем понятие стандартной области. Стандартной (или правильной) областью в направлении данной оси называется такая область, для которой любая прямая, параллельная этой оси пересекает границу области не более, чем в двух точках. Другими словами, пересекает саму область и ее границу только по одному отрезку прямой.
Предположим, что ограниченная область 
является стандартной в направлении оси 
и ограничена сверху графиком функции 
, снизу — графиком функции 
. Пусть R{ , } — минимальный прямоугольник, в котором заключена данная область .
Пусть в области определена и непрерывна функция . Введем новую функцию:
,
тогда в соответствии со свойствами двойного интеграла
.
И, следовательно,
.
Поскольку отрезок 
целиком принадлежит области то, следовательно, 
при 
, а если лежит вне этого отрезка, то 
.
При фиксированном можем записать:
.
Так как первый и третий интегралы в правой части равны нулю, то
.
Следовательно,
.
Из чего получаем формулу для вычисления двойного интеграла по области, стандартной относительно оси путем сведения к повторному интегралу:
.
Если область является стандартной в направлении оси и определяется неравенствами , 
, аналогично можно доказать, что
.
Замечание. Для области , стандартной в направлении осей и 
, будут выполнены оба последних равенства, поэтому
По этой формуле осуществляется изменение порядка интегрирования при вычислении соответствующего двойного интеграла.
Замечание. Если область интегрирования не является стандартной (правильной) в направлении обеих осей координат, то ее разбивают на сумму стандартных областей и представляют интеграл в виде суммы интегралов по этим областям.
Пример. Вычислить двойной интеграл 
по области , ограниченной линиями: 
, 
, 
.
Решение. Изобразим на рисунке заданную область интегрирования.
 |
Данная область является стандартной как относительно оси , так и относительно оси .
Вычислим интеграл, считая область стандартной относительно оси .
.
Замечание. Если вычислить интеграл, считая область стандартной относительно оси , мы получим тот же результат:
.
Пример. Вычислить двойной интеграл 
по области , ограниченной линиями: 
, 
, .
Решение. Изобразим на рисунке заданную область интегрирования.
Данная область является стандартной относительно оси .
.
Пример. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:
Решение. Изобразим на рисунке область интегрирования.
Из пределов интегрирования находим линии, ограничивающие область интегрирования: 
, 
, 
, 
. Для изменения порядка интегрирования выразим как функции от и найдем точки пересечения:
, 
, 
.
Так как на одном из интервалов функция выражена двумя аналитическими выражениями, то область интегрирования необходимо разбить на две области, а повторный интеграл представить как сумму двух интегралов.
.
