Система математических задач, решаемых методом площадей

Задача 6. В параллелограмме ABCD точка К – середина АВ, а L – середина ВС. Зная, что S_KBLD = S, найдите S_ABCD.

Решение. Проведем диагональ ВD. Тогда, исходя из утверждения 2, получим, что S_ABCD = 2S.

Задача 7. В четырехугольнике ABCD точка Е, середина АВ, соединена с вершиной D, а точка F, середина CD, - с вершиной В. Докажите, что S _ABCD = 2 S_EBFD

Решение. Проведя диагональ ВD и рассуждая аналогично задаче 6, получим, что S _ABCD = 2 S_EBFD

Задача 8. В произвольном четырехугольнике проведены отрезки, соединяющие середины сторон этого многоугольника. Зная площади
трех из полученных четырехугольников, найдите площадь четвертого.

Решение. В силу утверждения 2 и обозначений, использованных для элементов чертежа, получим S ₁ = a + b, S ₂ = b + c, S ₃ = c + d, S ₄ = a + d. Тогда, зная S _1, S ₂, S _3, S ₄ получим, что S ₄ = S ₁ + S ₃ - S ₂.

Задача 9. Докажите, что диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника.

Решение. В силу задачи 1 и утверждения 2 будем иметь

S_▲AOB = S_▲BOC = S_▲COD =S_▲DOA

Задача 10. Середины двух параллельных сторон параллелограмма соединены с противолежащими вершинами. Какая часть площади параллелограмма ограничена проведенными отрезками?

Решение. Проведем отрезок МК. Тогда в силу задачи 9 S_MFKE = 1/4SABCD.

Задача 11. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Середины сторон АВ и CD обозначены соответственно через К и М, точку пересечения отрезков ВМ и СК – через Р, точку пересечения отрезков АМ и DК – через О. Докажите, S _MOKP = S_▲BPC + S_▲AOD

Решение. Проведем диагональ ВD. Так как DК и ВМ медианы вновь полученных треугольников, то SAKD=1/2SABD, SBMC=1/2SBCD. Отсюда S_▲AKD + S_▲BMC = 1/2SАВСD (1) Проведя диагональ АС и учитывая, что АМ и СК медианы уже вновь полученных треугольников, получим SKBC=1/2SABC, SAMD=1/2SACD.

Тогда S_▲KBC + S_▲AMD = 1/2SABCD (2).

Из равенств (1) и (2) следует, что S_▲AKD + S_{▲BMC +} S_▲KBC + S_▲AMD = S_ABCD.

В этой сумме дважды учтены площади треугольников ВРС и АОD, но не учтена площадь четырехугольника МОКР. Поэтому S_MOKP = S_{▲BPC +} S_▲AOD.

Задача 12. На продолжениях сторон выпуклого четырехугольника АВСD отложены отрезки BB ₁ = AB, CC ₁ = BC, DD ₁ = CD и AA ₁ = AD. Докажите, что площадь четырехугольника А ₁ В ₁ С ₁ D ₁ в 5 раз больше площади четырехугольника АВСD.

Решение. Медиана делит площадь треугольника пополам, поэтому площади треугольников ABC, BB ₁ C и CC ₁ B ₁ равны между собой. Площадь треугольника ACD равна площади треугольника ADD ₁, площадь треугольника ADD ₁ равна площади треугольника AA ₁ D ₁ и т. д. Тогда S_{▲ BB1C1} = 2 S_▲ABC, S_{▲ CC1D1} = 2 S_▲BCD, S_{▲ AA1B1} = 2 S_▲DBA, S_{▲ DD1A1} = 2 S_▲CAD. Суммируя эти равенства, получим S_{▲ BB1C1} + S_{▲ CC1D1} + S_{▲ AA1B1} + S_{▲ DD1A1}.Обозначим площадь четырехугольника АВСD через S, тогда площадь четырех построенных треугольников равна 4 S, а площадь четырехугольника А ₁ В ₁ С ₁ D ₁ равна 5 S.

Задача 13. Вершина А квадрата АВСD соединена с точкой О – серединой ВС, вершина В – с точкой Е – серединой СD, вершина С – с точкой N – серединой АD, а вершина D – с точкой К – серединой АВ. Точки пересечения проведенных прямых L, M, R, и Р служат вершинами четырехугольника LMRP.

Докажите, что SLMRP=51SABCD.

Решение. ВКDE – параллелограмм, так как ВК = DE и ВК? DE, поэтому ВЕ? К D. АОСN – параллелограмм, так как АN = ОС и АN? ОС, поэтому ОА? СN. Учитывая, что О, Е, N, и К – середины сторон, из теоремы Фалеса следует, что АL = LP, BP = PR, CR = RM и DM = ML. Для большей наглядности дальнейшего хода решения задачи, представим чертеж в другом виде. Дальнейший ход решения совпадает с решением задачи 12.

Продолжим «цепочку» задач, исходной фигурой в которых будет выступать уже треугольник.

Задача 14. На продолжении стороны АВ треугольника АВС взята точка К так, что АВ = ВК. Точка L – середина ВС. Зная, что S_{▲BKL = S}, найдите S_▲ABC.

Решение. Сделаем дополнительное построение – проведем отрезок AL. В силу утверждения 2 и использованных на чертежах обозначений S_▲ABC = 2 S.

Задача 15. На продолжении сторон треугольника АВС построены отрезки AA ₁ = AC, BB ₁ = AB и CC ₁ = BC. Докажите, что S_{▲ A1B1C1} = 7 S_▲ABC.

Решение. Произведя дополнительные построения, приняв во внимание обозначения на чертеже и опираясь на утверждение 2, видим, что решение следует непосредственно из чертежа.

Задача 16. На продолжении стороны треугольника АВС взята точка D так, что АС = СD. Пусть М – середина стороны АВ, а К – точка пересечения отрезков ВС и МD. Докажите, что площадь треугольника ВКD равна площади четырехугольника АМКС.

Решение. В треугольнике АВD DМ и ВС – медианы. Поэтому S _▲AMD =S_▲BMD и S _▲ACB = S_▲CDB. Эти равенства можно записать так: S_AMKC + S _▲CKD = S_▲MDK + S_▲BKD, S_AMKC + S _▲MBK = S_▲CKD + S_▲BKD

Сложив эти равенства и упростив выражение, получим S_AMCK = S_▲BKD.

Опорные задачи, решаемые методом площадей

Метод площадей имеет много разновидностей. Его применяют, например, при замене отношения отрезков, расположенных на одной прямой, отношением площадей треугольников с общей вершиной, основаниями которых являются рассматриваемые отрезки.

При решении задач методом площадей часто применяют основные формулы, выражающие площадь треугольника.

Обозначим, через А, В и С величины соответствующих углов треугольника АВС, а через а, b и с, как обычно, длины противолежащих им сторон, 2р – периметр треугольника, r и R – соответственно радиус вписанной и описанной окружности.

В этих обозначениях для площади треугольника справедливы следующие формулы:

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(3.4)

(2.5)

Формулы (1), (4) и (5) хорошо известны, формулы (2), (3) получаются из формулы (1), используя теорему синусов. Формула (4) справедлива для любого описанного многоугольника.

Используя формулу (1) для площади треугольника, можно доказать теорему о биссектрисе внутреннего угла треугольника.

Теорема. Если – биссектриса угла А треугольника АВС, то .

Доказательство. Пусть угол при вершине А в треугольнике АВС равен . Рассмотрим треугольники и (рис. 10). Их площади относятся как отрезки и .

Используя формулу (2.1) имеем

.

Рассмотрим опорные задачи, решаемые методом площадей.

Пример 1. Пусть две прямые пересекаются в точке А. В и В₁ – любые две точки на одной прямой, а С и С₁ – на другой. Докажите, что .

Решение. Углы при вершине А треугольников АВС и АВ₁С₁ либо равны, либо дополняют друг друга до 180⁰ (рис. 11), то есть в любом случае синусы этих углов равны. Используя формулу (2.1) для площади треугольника имеем .

Пример 2. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты точки В₁ и С₁ так, что , . Докажите, что .

Решение следует непосредственно из предыдущего примера.

Пример 3. Докажите, что длину биссектрисы треугольника АВС можно вычислить по формуле , где , , , А – угол ВАС.

Решение. Учитывая свойство 3 площади, имеем или . Заменив в левой части равенства и сократив обе его части на , получим , откуда .

Рассмотрим еще одну полезную задачу.

Пример 4. Пусть О – точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. Тогда имеет место равенство .

Решение. Пусть и высоты треугольников ABD и CBD, проведенные к стороне BD (рис. 13). Очевидно, что . .

Используя результаты предыдущих задач, рассмотрим еще один важный пример, который в учебнике И.Ф. Шарыгина «Геометрия. 7-9 классы» назван типичной задачей.

Пример 5. В треугольнике АВС на сторонах АВ, ВС и СА взяты соответственно точки К, М и Р так, что АК:КВ=2:3, ВМ:МС=3:4, СР:АР=4:5. В каком отношении отрезок ВР делится отрезком КМ?

Решение. Пусть ВР и КМ пересекаются в точке О (рис. 14) и . Так как , , то . Так как , , то . Так как , , то . Следовательно, и .

При решении задач методом площадей следует помнить, что

1)Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики.

2) Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на четыре треугольника. Произведение площадей треугольников прилегающих к противоположным сторонам равны.