Краткие сведения из теории

При нагружении цилиндрической тонкостенной оболочки внутренним давлением в ней возникают меридиональные и кольцевые напряжения. Тонкостенными считаются те оболочки, у которых толщина стенки не превышает 10% их внутреннего диаметра, а рабочее давление не более 10 МПа /6/.

По безмоментной (мембранной) теории расчета меридиональные и кольцевые напряжения, действующие по срединной поверхности тонкостенной цилиндрической обечайки, вычисляются по формулам:

; (1)

. (2)

где – расчетное давление; , – радиус срединной поверхности и толщина оболочки

Моментная теория расчета в дополнение к растягивающим и сжимающим усилиям учитывает действие на обечайку поперечных сил и изгибающих моментов. В связи с этим в расчетных формулах для напряжений появляются дополнительные слагаемые, что будет показано ниже.

Экспериментальная цилиндрическая оболочка, в которой определяются напряжения, представляет собой вертикальную цилиндрическую обечайку, сваренную по краям с массивными плоскими днищами (рис. 1, а). При теоретическом анализе такая цилиндрическая оболочка может рассматриваться как жестко связанная с недеформирующимися основаниями. На эквивалентной схеме сопряжения цилиндрической оболочки и плоского днища (рис. 1, б) показаны равномерно распределенные по краям оболочек краевая сила и краевой момент

а) б)

Рис.1. Экспериментальная цилиндрическая оболочка (а) и эквивалентная схема

сопряжения цилиндрической оболочки и плоского днища (б)

В общем случае в узле сопряжения различных элементов оболочек (например, цилиндрической и сферической) действуют внутреннее давление и равномерно распределенные по краям оболочек краевая сила и краевой момент (см. рис. 2).

В том случае, когда имеет место соединение частей оболочек под углом друг к другу, в месте соединения возникает еще одна краевая сила – распорная сила (она является проекцией меридиональной силы , возникающей на краю оболочки под действием давления; другой проекцией является сила ).

Для определения и составляют уравнения совместности радиальных и угловых деформаций. При определении знаков деформаций рассматриваются сечения оболочки, расположенные справа от оси. При этом используется следующее правило: радиальные перемещения края оболочки считаются положительными, если под воздействием нагрузки происходит увеличение радиуса оболочки; угловые перемещения считаются положительными, если поворот края оболочки происходит по часовой стрелке. Это правило знаков.

(рис. 2).

Рис. 2. Схема к определению краевых сил и моментов:

а – соединение сферической и цилиндрической оболочек; б – расчетная схема;

и – меридиональные усилия соответственно цилиндрической и сферической оболочек

С учетом этого правила для правой относительно оси части оболочек (рис. 2, б) составляются уравнения:

(3)

.

Индексы «» и «» относятся к составляющим частям оболочек: цилиндрической и сферической.

Индексы внизу указывают, что деформации происходят под действием соответственно давления , распорных сил , краевой силы и краевого момента . Причем индексы указывают, что деформации происходят под действием алгебраических сумм краевых и распорных сил, при этом распорные силы в обеих частях оболочек могут быть различными.

В случае если нагруженная цилиндрическая оболочка жестко закреплена в недеформирующемся основании (рис. 1), распорная сила отсутствует. При этом уравнения (3) упрощаются и с учетом того же правила знаков принимают вид:

(4)

Радиальные и угловые деформации цилиндрической оболочки, входящие в уравнение (4), определяются для края оболочки (расстояние ) по формулам [4]:

; ;

; ; (5)

; ,

где – коэффициент Пуассона и модуль упругости материала оболочки; – коэффициент затухания

. (6)

Подставляя значения деформаций (5) в уравнения (4) и решая их, получим величину краевой силы и краевого момента :

; . (7)

Суммарные меридиональные и кольцевые напряжения, возникающие в стенке цилиндрической оболочки, составляют:

меридиональные

;

кольцевые (8)

,

где , , , , , – меридиональные и кольцевые напряжения, возникающие в оболочке от действия соответствующих нагрузок: , , .

Знак «плюс» при напряжениях от давления и краевого момента и знак «минус» от краевой силы соответствуют указанному ранее правилу знаков.

Меридиональные и кольцевые напряжения на самом краю цилиндрической оболочки (х = 0) составляют [3, 4]:

(9)

; ; ;

; ; .

Здесь знаки напряжений от краевого момента указывают, что на внутренней поверхности оболочки волокна растянуты (+), а на наружной поверхности сжаты (–).

Напряжения на расстоянии от края оболочки могут быть вычислены с учётом решения для краевой задачи [2, 4, 5]. Суммарные меридиональные и кольцевые напряжения в соответствии с формулами (8) для наружной поверхности экспериментальной цилиндрической оболочки на расстоянии от её края равны:

;

(10)

.