Выплате издержек хранения в середине

ИНТЕРВАЛА ПОВТОРНОГО ЗАКАЗА

В представленных выше в этой главе модификациях модели системы управления запасами (с учетом временной стоимости денег и с учетом предлагаемой скидки на цену партии заказа) было принято, что выплаты издержек хранения реализуются либо по схеме пренумерандо (т.е. моменты времени выплат издержек хранения принимаются соотносящимися с началом периода поставки), либо по схеме постнумерандо (т.е. моменты времени выплат издержек хранения принимаются соотносящимися с началом уже следующего периода поставки). В зависимости от контрактных условий схема выплат таких издержек может предполагать также реализацию соответствующих платежей и в середине интервала повторного заказа, т.е. в середине промежутка времени хранения соответствующей партии заказа. Поэтому в этой части главы дополнительно рассмотрим (также в кратком изложении) особенности анализируемой стратегии для случая, когда контрактные условия предполагают возможность учёта издержек хранения в середине интервала повторного заказа. Величины денежных потоков в рамках такой модификации модели определяются следующим образом.

- Для величины уходящих платежей на одном периоде поставки, которые соотносим с началом (УП(Н)) каждого такого периода, имеем прежнее представление

УП(Н) = C₀ + C_0П(q) × q + C_П(q) × q.

- Для величины уходящих платежей на одном периоде поставки, которые соотносим с серединой (УП(С)) каждого такого периода, имеем представление

УП(С) = C_h × q ×T /2.

При этом приходящие платежи остаются прежними, как и в рассмотренных выше в этой главе модификациях модели. Задача максимизации интенсивности потока денежных доходов для интересующей нас здесь модификации модели (обозначим указанную интенсивность через F_сред) с выплатой издержек хранения в середине интервала повторного заказа, причем с учётом временной стоимости денег и предлагаемой скидки принимает вид:

F_сред ® max,

где функция

F_пост = 1/T × [ q × (C_П(q) + P_П(q)) – (1 + r · T /2) × (C₀ + C_0П(q) × q +

+ C_П(q) × q) + C_h × q × T/2)],

определена в области Т > 0 и q > 0, а переменные q и T связаны равенством Т = q /D. Обратим внимание на то, что здесь, как это требуется принципами и правилами финансового анализа, финансового менеджмента и финансовой математики, выплаты соответствующих издержек на поставку и оплата стоимости партии товара, характеризуемые слагаемым – (1 + r · T /2) × (C₀ + C_0П(q) × q + C_П(q) × q) (относящиеся к началу периода поставки), уже наращены в рамках схемы простых процентов к общему моменту времени учёта всех платежей. А именно, они приведены к середине интервала времени между поставками, т.е. к моменту Т/2.

После несложных преобразований (они опускаются из-за ограниченности объема работы) интересующая нас целевая функция F_сред = F_сред(q) как функция переменного q легко приводится к виду

F_сред(q) = D × (Р_П(q) – С_0П(q)) – С₀ × ( ) – С_h × -

- × q × (C_0П(q) + C_П(q)).

(***)

Как видим, в этой рассматриваемой ситуации соответствующий вид функции оказался более простым, чем вид целевой функции F (см. формулу (*)) применительно к задаче оптимизации стратегии управления запасами для рассмотренной ранее модификации модели с выплатами издержек хранения пренумерандо и вид целевой функции F_пост (см. формулу (**)) применительно к этой задаче для рассмотренной ранее модификации модели с выплатами издержек хранения постнумерандо.

Действительно, особенность рассматриваемого здесь случая (выплаты издержек хранения в середине интервала повторного заказа) по сравнению с рассмотренными ранее, отражается аналитически отсутствием слагаемого, содержащего q². Это, как мы увидим, значительно упрощает алгоритм нахождения оптимальной стратегии. Соответствующая задача минимизации потерь в интенсивности потока доходов с целью максимизации чистого приведенного дохода в рамках анализируемых логистических процессов может быть представлена (после домножения всего выражения на –2) в следующем виде

f_сред(q) ® min,

где функция f_сред(q) определяется равенством

f_сред(q) = [ 2 C₀ × D / q + q × C_h ] + q × r ×(C_0П(q) + C_П(q)) +

+ 2D (C_0П(q) – Р_П(q))

в области q > 0 с учетом отмеченных выше особенностей представлений для функций C_П(q), C_0П(q) и P_П(q). При этом, подчеркнем, что специально выделенная квадратными скобками часть выражения для f_сред(q) это – аналог целевой функции применительно к задаче минимизации издержек для классического варианта модели без учета временной структуры процентных ставок и без предлагаемой скидки на заказ (применительно к которому действует формула Уилсона для размера партии заказа, и который, напомним, мы обозначаем через q₀).

Прежде, чем представить алгоритм нахождения оптимального размера партии заказа для рассматриваемой здесь модификации модели (обозначим его через q^*_сред), минимизирующего потери в интенсивности потока доходов, подчеркнем также следующее.

Если в выражении для f_сред(q) формально заменить C_П(q), C_0П(q) и P_П(q) соответственно на конкретные значения C_П0, C_0П0 и P_П0, то получим функцию, которую по аналогии с рассмотренной выше модификацией модели обозначим через φ _{0 сред}(q). Эта функция имеет единственную точку минимума q₀^*(сред), которую можно находить по формуле, найденной нами в главе 2, но применительно к указанным значениям параметров C_П0, C_0П0 и P_П0 рассматриваемой здесь модели. А именно:

q₀^*(сред) = .

При этом снова будет выполнено неравенство q₀^*(сред) < q₀: в рамках такого варианта модели при учете временной стоимости денег классические рекомендации опять, как видим, завышают размер партии заказа.

Если в выражении для f_сред(q) формально заменить C_П(q), C_0П(q) и P_П(q) соответственно на конкретные значения C_П1, C_0П1 и P_П1, то получим функцию, которую по аналогии с рассмотренной выше модификацией модели обозначим через φ _1сред(q). Эта функция также имеет единственную точку минимума q₁^*(сред), которую снова можно находить по формуле, найденной нами в главе 2, но уже применительно к значениям параметров C_П0, C_0П0 и P_П0 рассматриваемой здесь модели. А именно:

q₁^*(сред) = .

Причем опять будет выполнено неравенство q₁^*(сред) < q₀: и в этой ситуации классические рекомендации завышают размер партии заказа.

Кроме того, учитывая, что в соответствии с условиями скидки выполняются неравенства С_П0 > С_П1; С_ОП0 > С_ОП1 и Р_П1 > Р_П0, указанные функции в любой точке q (q> 0) связаны неравенством φ _{0 сред}(q) > φ _{1 сред}(q) (сравните с функциями φ ₀ (q) > φ ₁ (q), представленными на рис. 5.4 – 5.5 применительно к модели учета издержек хранения пренумерандо).

Таким образом, для модели выплат издержек хранения в середине интервала повторного заказа структура функции f_сред(q) при определении оптимального размера партии заказа q₀^*(сред) оказывается такой же, как и структура рассмотренной ранее функции f(q) для модели выплат издержек хранения пренумерандо (рис. 5.4 – 5.5). Следовательно, для выбора оптимального размера партии заказа q^*_сред необходимо сравнивать интенсивности потоков доходов F_сред(q) для рассматриваемой модификации модели при q = q₀^*(сред); при q = q₁ и при q = q₁^*(сред), выбрав тот вариант организации поставок, где такая интенсивность будет больше. Формулы для расчета указанных значений интенсивностей потоков доходов в соответствии с (***) – следующие:

а) при q = q₀^* (сред) имеем

F_сред(q₀^*(сред)) = D × (Р_П0 – С_0П0) – С₀ × () – С_h × –

– × q₀^*(сред) × (C_0П0 + С_П0);

в) при q = q₁ имеем

F_сред(q₁) = D × (Р_П1 – С_0П1) – С₀ × () – С_h × –

– × q₁ × (C_0П1 + С_П1).

с) при q = q₁^*(сред) формула для определения соответствующей интенсивности потока доходов F_пост(q₁^*) аналогична предыдущей, но с учетом требуемой замены q₁ на q₁^*(сред).

Подчеркнем также, что и применительно к рассматриваемой здесь модификации модели с выплатой издержек хранения в середине интервала повторного заказа остается справедливым сделанное выше замечание (как для модели с выплатой издержек хранения пренумерандо, так и для модели с выплатой издержек хранения постнумерандо) относительно возможности исключения из расчетов последнего случая (с), если q₁ > q₀.

Для сравнения параметров оптимальной стратегии и интенсивности потока доходов, относящихся к модификации модели при выплате издержек хранения в середине интервала повторного заказа, с аналогичными, но относящимися к ранее представленным аналогам модели, когда такие выплаты предполагались пренумерандо либо постнумерандо, вернемся к условиям рассмотренной выше условной ситуации примера 5.4.

ПРИМЕР 5.6. (Продолжение примера 5.4: выплаты издержек хранения в середине интервала повторного заказа). Найдём в условиях примера 5.4 соответствующее оптимальное значение размера партии заказа q₀^*(сред). Аименно, для этого показателя по представленной выше формуле получаем

q₀^*(сред) = = 141,4 (ед. тов.)

(сравните это значение с найденным в примере 5.4 значением q₀^* = 141,3 применительно к модели выплат издержек хранения пренумерандо или со значением, найденным в примере 5.5, q₀^*(пост) = 141,5 применительно к модели выплат издержек хранения постнумерандо).

При этом для оптимального значения размера заказа q₁^*(сред) имеем:

q₁^*(сред)= = 141,8 (ед. тов.).

Сравните и эту величину с соответствующими значениями q₁^* и q₁^*(пост) применительно к примерам 5.4 и 5.5 для моделей выплат издержек хранения пренумерандо и постнумерандо. Отметьте при этом, насколько более просто можно находить требуемые параметры для определения оптимальной стратегии, пользуясь полученными в этом разделе формулами.

Как видим, требуемые показатели/параметры для определения оптимальной стратегий управления запасами применительно к такой модели, практически, совпадают с аналогичными в рамках рассмотренных выше модификаций модели (с выплатой издержек хранения пренумерандо и постнумерандо). Более того, фактически для практиков они просто совпадают, т.к. при оформлении заказа потребуется округлять указанные значения до приемлемого ближайшего целого числа. Подчеркнем, что, вообще говоря, как и в примерах 5.4 и 5.5, расчет показателей q₁^*(сред) и F_сред(q₁^*(сред)) в этой ситуации не требуется, т.к. выполнено условие q₁ ≥ q₀ (300>200).

Для нахождения наилучшего решения (принять условия скидки или нет) сравниваем интенсивности потоков доходов F_сред(q₀^*(сред)) и F_сред(q₁) для указанных альтернативных вариантов решений.

Случай 1. При отказе от условий скидки и поставках товара партиями оптимального (с учетом временной стоимости денег) объема q₀^*(сред) для интенсивности соответствующего потока доходов (по формуле для F_сред(q₀^*(сред)) имеем:

F_сред(q₀^*(сред)) = 20000×20 - 20×() - 20× - ×141,42×100 =

=394341,2 (у.е./год).

Случай 2. Если принять условия скидки и реализовать поставки товара партиями соответствующего объема q₁ = 300 для интенсивности потока доходов (по формуле для F_сред(q₁) имеем:

F_сред(q₁) = 20000×21 - 20×() - 20× - ×300×99 =

=412696,(6) (у.е./год).

Как видим, и в ситуации, когда выплаты издержек хранения реализуются в середине интервала повторного заказа, оптимальным решением снова будет следующее решение: принять условия скидки и организовать поставки товара с размером партии заказа, равным 300 (ед. тов.).

Обратим также внимание на то, что найденные интенсивности потоков доходов F_сред(q₀^*(сред)) = 394341,2 (у.е./год) и F_сред(q₁) = 412696,(6) (у.е./год) для модели выплат издержек хранения в середине интервала повторного заказа оказались немного большими, чем соответствующие интенсивности F(q₀^*) и F(q₁) для модели выплат издержек хранения пренумерандо (см. пример 5.4), и немного меньшими, чем соответствующие интенсивности F_пост(q₀^*(пост)) и F_пост(q₁) для модели выплат издержек хранения постнумерандо (см. пример 5.5). Это, естественно, обусловлено особенностью учета временной стоимости денег: при более поздних сроках реализации уходящих платежей соответствующие показатели чистой приведенной стоимости и интенсивности потока доходов должны (при прочих равных условиях) возрастать.

Заметим, что в соответствии с классическими рекомендациями без учета временной стоимости денег при размере партии заказа (формула Уилсона) q₀ = 200 (ед. тов.) для интенсивности потока доходов получим:

F_сред(q₀ ) = 20000×20 - 20×() - 20× - 200× × 100 =

= 393998 (у.е./год).

Сравнивая это значение с F_сред(q₀^*(сред)) = 394341,2 (у.е./год) видим, что разность в интенсивности потока доходов за счет учета временной стоимости денег для этой модификации модели составляет 343,2 у.е./год (применительно к анализируемому виду номенклатуры). Она остается, практически, такой же, как и соответствующая разность в условиях примеров 5.3 и 5.4 для рассмотренных там модификаций модели с выплатами издержек хранения пренумерандо и постнумерандо соответственно. Следовательно, все выводы и комментарии, сделанные выше применительно к возможности повышения эффективности системы управления запасами за счет учета временной стоимости денег, относятся напрямую и к этой модификации модели. Другими словами, они практически не зависят от оговариваемой в контракте схемы выплат издержек хранения.

Результаты представленного в этой главе исследования соответственно позволяют сделать следующие выводы.

ВЫВОДЫ. Разработанные в классической теории модели оптимальных стратегий управления запасами, в частности, требующих анализа скидок на цену заказа, могут быть улучшены в смысле максимизации эффективности таких систем (например, максимизации чистого приведенного дохода или максимизации интенсивности потока доходов) за счет учета действующих на рынке процентных ставок на основе учета временной стоимости денег при анализе денежных потоков, характеризующих соответствующие издержки и доходы. Особенности конкретных схем выплат издержек хранения мало влияют на параметры оптимальной стратегии управления запасами при заданном годовом потреблении, заданной структуре процентных ставок и заданных тарифах издержек. Суммарный показатель возможного повышения эффективности системы за счет учета временной стоимости издержек/доходов при большой номенклатуре товаров может оказаться весьма значительным.