Теорема Чебишева

Теорема Чебишева. Якщо послідовність попарно незалежних випадкових величин , , , , має скінченні математичні сподівання та дисперсії цих величин рівномірно обмежені (не перевищують сталого числа ), то середнє арифметичне випадкових величин збігається за ймовірністю до середнього арифметичного їх математичних сподівань, тобто якщо – будь-яке додатне число, то

Зокрема, середнє арифметичне послідовності попарно незалежних величин, дисперсії яких рівномірно обмежені і які мають одне і те ж математичне сподівання , збігається за ймовірністю до математичного сподівання , тобто якщо – будь-яке додатне число, то

ФУНКЦІЇ РОЗПОДІЛУ ЙМОВІРНОСТЕЙ
ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

Інтегральна функція розподілу
ймовірностей випадкової величини

Інтегральною функцією розподілу називають функцію , що визначає для кожного значення ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, що менше , тобто

Часто замість терміна «інтегральна функція» користуються терміном «функція розподілу».

Інтегральна функція має наступні властивості:

В л а с т и в і с т ь 1. Значення інтегральної функції належать відрізку :

В л а с т и в і с т ь 2. Інтегральна функція є неспадна функція, тобто

Н а с л і д о к 1. Ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, взяте в інтервалі , дорівнює приросту інтегральної функції на цьому інтервалі:

Н а с л і д о к 2. Ймовірність того, що неперервна випадкова величина прийме одне певне значення, наприклад , дорівнює нулю:

В л а с т и в і с т ь 3. Якщо всі можливі значення випадкової величини належать інтервалу , то

В и с н о в о к. Справедливі наступні граничні співвідношення:

Диференціальна функція розподілу ймовірностей
неперервної випадкової величини

Диференціальною функцією розподілу ймовірностей називають першу похідну від інтегральної функції:

Часто замість терміна «диференціальна функція» використовують термін «щільність ймовірності».

Ймовірність того, що неперервна випадкова величина прийме значення, що належить інтервалу , визначається рівністю

Знаючи диференціальну функцію, можна знайти інтегральну функцію за формулою

Диференціальна функція має наступні властивості:

В л а с т и в і с т ь 1. Диференціальна функція невід'ємна, тобто

В л а с т и в і с т ь 2. Невласний інтеграл від диференціальної функції в межах від до дорівнює одиниці:

Зокрема, якщо всі можливі значення випадкової величини належать інтервалу , то

Числові характеристики
неперервних випадкових величин

Математичне сподівання неперервної випадкової величини , можливі значення якої належать всій осі , визначається рівністю

де – диференціальна функція. Передбачається, що інтеграл збігається абсолютно.

Зокрема, якщо всі можливі значення належать інтервалу , то

Усі властивості математичного сподівання, зазначені вище для дискретних величин, зберігаються і для неперервних величин.

Якщо крива розподілу симетрична відносно прямої , то

Модою неперервної випадкової величини називають те її можливе значення, якому відповідає максимум диференціальної функції.

Медіаною неперервної випадкової величини називають те її можливе значення, яке визначається рівністю

Геометрично медіану можна витлумачити як точку, в якій ордината ділить навпіл площу, обмежену кривою розподілу.

Дисперсія неперервної випадкової величини , можливі значення якої належать , визначається рівністю

або рівносильною рівністю

Зокрема, якщо всі можливі значення належать інтервалу , то

або

Усі властивості дисперсії, зазначені вище для дискретних величин, зберігаються і для неперервних величин.

Середнє квадратичне відхилення неперервної випадкової величини визначається так само, як і для дискретної величини:

Початковий теоретичний момент порядку неперервної випадкової величини визначається рівністю

Центральний теоретичний момент порядку неперервної випадкової величини визначається рівністю

Зокрема, якщо всі можливі значення належать інтервалу , то

Очевидно, що якщо , то , ; якщо , то .

Центральні моменти виражаються через початкові моменти за формулами: