Задача №3

Даны вершины треугольника M₁M₂M₃: М₁(-3;0), M₂(2;5), M₃(3;2).

а) Найти периметр треугольника, вершинами которого служат середины сторон.

б) Найти периметр треугольника, вершинами которого служат основания высот, проведенных из вершин M₁M₂M₃к противоположным сторонам.

в) Найти периметр треугольника, вершинами которого служат основания биссектрис, проведенных из вершин M₁M₂M₃к противоположным сторонам.

Решение.

а) Построение:

К, Е, F – середины соответствующих сторон М₁М₃, М₁М₂, М₂М₃.

M₁

M₂

M₃

К – середина М₁М₃, тогда координаты середины стороны будут:

Тогда К(0;1).

Е – середина М₁М₂, тогда координаты середины стороны будут:

тогда Е(-0,5; 2,5).

F – середина М₂М₃, тогда координаты середины стороны будут:

тогда F(2,5; 3,5).

KF=

Аналогично: EF= ; EK= . Тогда периметр треугольника будет:

б)

M₁

M₂

M₃=N=M

Где М₁?

Покажем, что треугольник прямоугольный и его три высоты не могут составить замкнутую фигуру.

Найдем уравнение стороны М₁М₂:

откуда имеем

5x+15=5y; y=x+3. Хорошо видно, что угловой коэффициент этой прямой k₁=1, а

т. к. высота М₃К перпендикулярна стороне М₁М₂, то k₂

Используя уравнение прямой через точку: у-y₁=k(x-x₁) имеем

M₃K:

y-2=-1(x-3), y-2=-x+3 откуда получаем y+x-5=0.

Уравнение пучка прямых:

2y=8,

y=4, то x=1, тогда М₃К М₁М₂=К(1;4).

Найдем уравнение стороны М₂М₃:

-3x+6=y-5, y=-3x+11, откуда видно что угловой коэффициент этой прямой k₁=-3,

т. к. М₁N перпендикуляреныМ₂М₃, k₂

тогда уравнение стороны М₂М₃будет
, 3y-x-3=0

Уравнение пучка прямых:

у=11-3x, 33-9x-x-3=0. x=3 y=2, то x=3,

тогда М₁N М₂М₃=N(3;2).

Найдем уравнение стороны М₁М₃:

2x+6=6y, 3x-x-3=0,

y= x+1, k₁= , то k₂ т. к. М₂M перпендикулярна М₁М₃, k₂= . Найдем уравнение стороны М₁N:

y-5=-3(x-2), y-5=-3x+6, y+3x-11=0.

Уравнение пучка прямых:

y=2, то x=3,

тогда М₂M М₁М₃=N(3;2).

Имеем:

KN= ; КM= ; NM=0; т.е. мы доказали, что

ΔКNM не существует

в)Построение: М₁А, М₂В и М₃С – биссектрисы углов при вершинах М₁М₂ М₃

M₃

M₂

M₁

Найти периметр треугольника АВС

1)
.

(у-х-3)=3у-х-3;

у- х-3 =3у-х-3;

у( -3)+х(- +1)+(3-3 )=0 - уравнение биссектрисы

2)
.

(у-х-3)=у+3х+11;

у- х-3 =у+3х+11;

у( -1)+х(- -3)+(-3 +11)=0 - уравнение биссектрисы

3)
.

3у-х-3=у+3х-11;

2у-4х+8=0 - уравнение биссектрисы

Найдем основания биссектрис, как точки пересечения сторон треугольника и с ответствующей биссектрисы:

1) =-4 ;

=-20 +20;

;

.
3)

у =10, х=7 Следовательно С(7,0)

Найдем

Задача №4

Даны вершины равнобедренного треугольника

а)Доказать, что середины сторон равнобедренного треугольника являются также вершинами равнобедренного треугольника.

б) Доказать, что биссектриса, проведенная из вершины при основании равны.

в) Медианы, проведенные из вершин при основании равны.

а)Дано: ΔАВС

Доказать, что середины сторон равнобедренного треугольника являются также вершинами равнобедренного треугольника.

Доказательство.

Найдем середины сторон треугольника

1) Найдём середину отрезка A

А(2; 2)

2) Найдём середину отрезка B

В(4;0)

3) Найдём середину отрезка C(

С(2;0)

4) АС=CB треугольник АВС -равнобедренный, что и требовалось доказать

б)Дано :

Доказать, что биссектриса, проведенная из вершины при основании равны.

Доказательство.

Найдём каноническое уравнение 2-ух точек M₃, M₁

4-x=y+2,

x+y-2=0

x-4=0

Найдём каноническое уравнение 2-ух точек

y+x-3=

у+(1-

у=2,

y-2=0

Составим систему уравнения из K

Найдем длину .

2) Найдём каноническое уравнение 2-ух точек

Составим систему уравнения из

Найдем длину

что и требовалось доказать

в)Дано: ΔАВС и оказать, что медианы, проведенные из вершин при основании равны.

Доказательство.

Найдем длину

Найдем длину A

= A что и требовалось доказать

Ответ: а)АС=СВ

б)

в)

Дано: Δ АВС; А(0;0), В(3;1), С(1;7). Доказать, что Δ АВС прямоугольный.

Задача №5.

Доказать, что треугольник с вершинами А(0;0), В(3;1), С(1;7) прямоугольный.

Доказательство.

Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти вектора перпендикулярны.

Значит <В=90°, следовательно треугольник АВС прямоугольный.

Что и требовалось доказать.

Задача №6.

Дано: Δ АВС; А(-2;1), В(4;8), С(10;6). Доказать, что Δ АВС тупоугольный.

Показать, что в треугольнике А(-2;1), В(4;8), С(10,6) один угол тупой.

Доказательство.

<B- тупой, так как скалярное произведение двух векторов отрицательно тогда и только тогда, когда между ними тупой угол.

Ответ: Δ АВС тупоугольный.

Дано: ABCD - параллелограмм; А(4;2), В(4;8), С(10;6). DA и СB – диагонали DA

CB=E Найти: а) D. б) CB и DA. в) E. г)

CAB.

Задача №7.

Даны три вершины параллелограмма А(4;2), В(5;7), С(-3;4)

а) Найти координаты четвертой вершины D;

б) Длины диагоналей AD и CB;

в) Точку пересечения диагоналей E;

г) Угол при вершине А.

Решение.

а) Известно, что диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Поэтому координаты точки E - пересечения диагоналей - найдем как координаты середины отрезка AC. Обозначая их через получим, что

E(1; 5,5)

Зная координаты точки Е – середины диагонали AD и координаты одного из его концов А(4; 2), по формулам

где х=1, =4, у=5,5, =2, получим

=-2

D(-2;9).

б)

в) Найдем уравнения прямых содержащие диагонали параллелограмма АD и ВС по формуле
.

AD:

.

7х-28=-6у+12,

6у+7х-40=0.

ВС:

-3х+15=-8у+56,

8у-3х-41=0.

Найдем точку пересечения прямых АD и ВС:

=6(-3)-7 8=-18-56=-74;

=40 =-120-287=-407;

=40 320-246=74;

E(-1; 5,5) - точка пересечения диагоналей

г) Найдем уравнение прямых АВ и АС по формуле

представим уравнение в виде у=кх+в

АВ:

5х-20=у-2,

у=5х-18, .

АС:

2х-8=-7у+14,

7у=-2х+22,

<A=arctg

Ответ: а) D(-2;9); б) BC= ; АD= ; в) Е(-1; 5,5); г) САВ=arctg

Задача №8.

Дано: AB: х+2у=0, BC: х+4у-6=0; AC: х-4у-6=0. Найти

ВAС,

АBС,

ВCА.

Найти внутренние углы треугольника, стороны которого заданы уравнениями х+2у=0, х+4у-6=0; х-4у-6=0.

Решение

x+2у=0, х+4у-6=0, х-4у-6=0 распишем эти уравнения по формуле у=кх+в

AB:

х+2у=0,

2у=-х,

.

ВС:

х+4у-6=0,

4у=-х+6,

AC:

х-4у-6=0,

4у=х-6,

BAC=180°-28°-12°30'=139°30'.

Ответ: ABC= 12°30'; BAC=28°; BCA=139°30'.

Задача №9

Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон: x+2y=4 и х+2у=10 и уравнение одной из его диагоналей у=х+2

Дано:

Найти: А,В,С и D.

Решение

а) Решим 2 системы из 2 линейных уравнений.

1) Первая x+2y=4 и y=x+2 даст одну вершину А ромба:

Вторая х+2у=10 и у=х+2 даст другую вершину С ромба:

б) Нашли середину диагонали: (1;3)

в) используя свойство ромба найдем его вторую диагональ (она будет перпендикулярна заданной) у=-x+b, подставим координаты середины отрезка АС - точки М пересечения координат М(1;3) найдем b=4 т.е вторая диагональ

у=-х+b,

b=x+y=1+3=4,

b=4.

y=-x+4.

г) Найдем точки пересечения ее со сторонами — это будут две другие вершины. Решим 2 системы из 2 линейных уравнений.

1) Первая x+2y=4 и y=-x+4 даст одну вершину В ромба: