Примеры задач с решениями

Построить на числовой оси точки A (-5), B (+4) и C (-2) и найти величины AB, BC и AC отрезков на оси. Проверить, что AB + BC = AC.

Решение.

Изобразим точки A (-5), B (+4) и C (-2) на рисунке:

Найдем величины отрезков AB, BC и AC используя формулу

AB = x ₂ - x ₁

Записав наши точки в виде A (x ₁), B (x ₂), C (x ₃) находим, что

AB = x ₂ - x ₁ = 4 - (-5) = 9;

BC = x ₃ - x ₂ = (-2) - 4 = -6;

AC = x ₃ - x ₁ = (-2) - (-5) = 3.

Из полученных данных нетрудно проверить, что AB + BC = AC (9 + (-6) = 3).

Построить точку C (2, 4).

Решение.

Абсцисса точки C равна 2, а ее ордината равна 4. Выберем единицу масштаба и возьмем на плоскости прямоугольную систему координат. Отложим на оси Ox вправо от начала координат O отрезок OA длиной в 2 единицы, а по оси Oy вверх от начала координат - отрезок OB длиной 4 единицы. Из точки A восстановим перпендикуляр к оси Ox, а из точки B - перпендикуляр к оси Oy. Пересечение этих перпендикуляров определяет искомую точку C (см. рисунок)

Построить точку, симметричную точке A (x, y) относительно:
а) оси Ox,
б) оси Oy,
в) начала координат.

Решение.

Две точки M ₁ и M ₂ называются симметричными относительно прямой, если отрезок M ₁ M ₂ перпендикулярен этой прямой, причем его середина лежит на этой прямой.

Две точки M ₁ и M ₂ называются симметричными относительно точки O, если точка O является серединой отрезка M ₁ M ₂.

а) Точка B, симметричная с точкой A (x, y) относительно оси Ox, имеет абсциссу такую же, как и точка A, а ординату, равную по абсолютной величине ординате точки A, но противоположную ей по знаку. Значит, точка B имеет координаты x и - y: B (x, - y) (см. рисунок).

б) Точка C, симметричная с точкой A (x, y) относительно оси Oy, будет иметь ординату такую же, как и точка A, а абсцисса точки C будет по абсолютной величине равна абсциссе точки A, но противоположна ей по знаку. Значит, точка C имеет координаты - x и y: C (- x, y) (см. рисунок)

в) Точка D, симметричная точке A (x, y) относительно начала координат, будет иметь абсциссу и ординату, равные по абсолютной величине абсциссе и ординате точки A, но противоположные им по знаку, т. е. координаты точки D будут равны - x и - y: D (- x, - y) (см. рисунок).

Какое соотношение существует между координатами точки, если она лежит:
а) на биссектрисе первого и третьего координатных углов;
б) на биссектрисе второго и четвертого координатных углов?

Решение.

а) Биссектриса первого и третьего координатных углов делит эти углы пополам и с положительным направлением оси Ox составляет угол в 45 градусов. Если из любой точки A (x, y) этой биссектрисы опустить перпендикуляр на ось Ox, то треугольник OAB будет равнобедренным прямоугольным треугольником, и потому его катеты OB и AB между собой равны (см. рисунок, а)). Так как катет OB есть абсцисса точки A, а катет AB - ее ордината (координатами точки могут быть не только числа, но и отрезки, измеренные единицей масштаба), то заключение состоит в том, что абсцисса и ордината любой точки этой биссектрисы между собой равны, причем это верно независимо от того, находится ли точка A в первом координатном углу или в третьем, так как в каждом из них абсцисса и ордината точки имеют один и тот же знак. Итак, для координат точек этой биссектрисы имеет место равенство x = y.

б) Для точек биссектрисы второго и четвертого координатных углов, аналогично рассуждая, придем к заключению, что абсцисса и ордината любой точки на этой биссектрисе также равны между собой по абсолютной величине, но противоположны по знаку, что следует из таблицы знаков абсциссы и ординаты во второй и четвертой четвертях:

Четверти	II	IV
x	-	+
y	+	-

Таким образом, для координат точек, лежащих на этой биссектрисе, выполняется равентство x = - y.

Точка A (a, b) находится внутри первого координатного угла. Определить координаты точки B, симметричной с точкой A относительно биссектрисы этого координатного угла.

Решение.

Так как точка B симметрична точке A относительно биссектрисы первого координатного угла, то она лежит с точкой A на перпендикуляре к OC и AC = CB (см. рисунок). Учитывая это, а также то, что в треугольниках OAC и OCB катет OC - общий, заключаем, что эти прямоугольные треугольники между собой равны (см. рисунок).

Рассмотрев теперь треугольники OBE и OAD, придем к заключению, что они равны, так как, будучи прямоугольными, они имеют равные гипотенузы и равные острые углы AOD и OBE. Почему?

Из равенства треугольников OBE и OAD заключаем, что OD = BE, а AD = OE. Так как по условию абсцисса OD точки A равна a, а ее ордината AD = b, то приходим к заключению, что точка B имеет абсциссу OE = AD = b, а ординату BE = OD = a. Итак, координатами точки B служат числа b и a: B (b, a).

Точки A (-4, 2) и B (x, y) лежат на прямой, параллельной оси Ox, причем расстояние между ними равно 2 единицы масштаба. Определить координаты точки B.

Решение.

Задача допускает два решения: точка B может находиться как слева, так и справа от точки A. Так как в каждом из этих случаев точка B лежит на прямой, параллельной оси Ox, то ее ордината y в обоих случаях будет равна ординате точки A, т. е. y = 2. Абсцисса же ее в том случае, когда она находится слева от точки A, будет равна -6, а когда она находится справа от A, будет равна -2. Итак, B (-6, 2), а B ₁(-2, 2) (см. рисунок).)

Найти расстояние между точками A (4, -5) и B (7, -1).

Решение.

По формуле

для расстояния d между двумя точками, если взять в ней x ₁ = 4; x ₂ = 7; y ₁ = -5; y ₂ = -1, получаем

d = 5 единиц масштаба.

Доказать, что треугольник, вершины которого A (2, 3); B (6, 7); C (-7, 2), - тупоугольный.

Решение.

По формуле

определяем длины сторон и находим, что

AB = единиц масштаба;

AC = единиц масштаба;

BC = единиц масштаба.

Значит, BC ² > AB ² + AC ² (194 > 32 + 82) - треугольник тупоугольный, т. к. из элементарной геометрии известно, что если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник - прямоугольный; если квадрат большей стороны треугольника меньше суммы квадратов двух других сторон, то треугольник - остроугольный; если же квадрат большей из сторон треугольника больше суммы квадратов двух других сторон, то треугольник - тупоугольный.

Найти точку, удаленную на 5 единиц как от точки A (2, 1), так и от оси Ox.

Решение.

Так как по условию задачи искомая точка удалена от оси Ox на 5 единиц, то она лежит либо на прямой y = 5, либо на прямой y = -5.

Поэтому обозначим искомую точку: а) B (x ₂, 5) если она лежит на прямой y = 5; б) B (x ₂, -5) если она лежит на прямой y = -5.

а) A (2, 1), B (x ₂, 5)

Расстояние между двумя точками на плоскости рассчитывается по формуле

(1)

Подставляя A (2, 1), B (x ₂, 5) в уравнение (1), получаем