Пример 2.10 Обратная геодезическая задача

1 2 3

Пример 2.8

Решить прямую геодезическую задачу.

Известны: X_A = 81819,9; = 778,3;

Y_A = 41894,8; (AB) = 275^о40’50».

Определить координаты ориентира В.

Решение

X_B = X_A + ^.cos (AB); cos (AB) = cos (275^о40’50») = 0,098982;

Y_B = Y_A + ^.sin (AB); sin (AB) = sin (275^о40’50») = -0,995089.

X = ^. cos (AB) = 77,0 м; X_B = 81898,9 м;

Y = ^.sin (AB) = — 774,5 м. Y_B = 41120,3 м.

Обратная геодезическая задача

Обратной геодезической задачей на плоскости называется задача определения дирекционного угла (АВ) с одной точки на другую и расстояния АВ между ними по известным прямоугольным координатам этих точек.

Решение обратной геодезической задачи.

Даны:

— точка А с координатами (Х_А,Y_А);

— точка В с координатами (Х_В,Y_В).

Требуется определить: — дирекционный угол (АВ) с точки А на точку В;

— расстояние между точкой А и точкой В.

В прямоугольном треугольнике АСВ катеты СМ СВ соответствуют приращениям координат:

АС= Х = Х_В – Х_А; (2.9)

СВ = Y = Y_В – Y_А.

Таким образом, в прямоугольном треугольнике АСВ два катета, по которым можно определить все его остальные элементы:

— острый угол САВ, равный дирекционному углу (АВ);

— гипотенузу АВ, которая есть не что иное, как расстояние.

При расположении точек А и В в первой четверти (АВ) = ‘.

Тогда:

tg ‘= tg (AB) =(Y_B – Y_A) / (X_B – X_A) = Y / X; (2.10)

= (Y_B – Y_A) / sin (AB) = Y / sin ‘, если ‘ > 45^o, (2.11)

или = (X_B- X_A) / cos (AB) = X / cos ‘, если ‘ < 45^o. (2.12)

Формулы (2.10, 2.11, 2.12,) представляют собой математическое выражение обратной геодезической задачи.

Из этих зависимостей видно, что для решения данной задачи:

— необходимо по координатам точек А и В вычислить Х и Y;

— по формуле (2.10) вычислить дирекционный угол направления с точки А на точку В, приведенный к острому углу первой четверти;

— по формулам (2.11, 2.12) дважды получить искомое расстояние.

За окончательное значение расстояния принимается значение, полученное по большей разности координат.

Для решения обратной геодезической задачи в общем случае определяется не дирекционный угол (АВ), а острый угол ^,. Переход от острого угла ^, к дирекционному углу (АВ) осуществляется в зависимости от знаков приращений координат.

Обратная геодезическая задача решается теми же способами и средствами, что и прямая геодезическая задача.

При решении обратной геодезической задачи с помощью пятизначных таблиц логарифмов формулы (2.10, 2.11, 2.12) логарифмуются и приводятся к виду:

lg tg ‘= lgY – lg Х;

lg = lgX – lg cos ‘ = lgХ + lg sec ‘; (2.13)

lg = lgY – lg sin ‘ = lgY – lg cosec ‘.

Пример 2.9

Решить обратную геодезическую задачу.

Известны:

X_A= 32761,3; X_B = 36184,3 м;

Y_A = 87847,4; Y_B = 84249,7 м.

Определить:

— расстояние между точками А и В;