Задача 3. Дана правильная треугольная пирамида SABC со стороной основания а

Дана правильная треугольная пирамида SABC со стороной основания а. На ребре SB взята точка Е, которая делит SB в отношении k, а на ребре SC взята точка D, которая делит SC в отношении m. Найти расстояние между высотой основания BN и отрезком DE.

Решение:

Выполним дополнительные построения:

1. Из точки Е опустим перпендикуляр ЕК на плоскость основания;

2. Из точки D опустим перпендикуляр на плоскость основания;

3. Соединим точки К и L;

4. Рассмотрим треугольник КОL. Проведенный перпендикуляр ОM является искомым.

Выноска:

Проведем необходимые вычисления:

1.Рассмотрим прямоугольные треугольники SOB и EKB. Они подобны по 2ум углам

BE: SB = BK: BO→BE: (SE + BE) = BK: R → BK = R/(k+1);

OK = BO – BK = R - R/(k+1) = (k ∙ R)/(k+1), CO = BO = R, где R – радиус описанной окружности;

2.Рассмотрим треугольники DLC и SOC, подобные по 2ум углам

LC: CO = CD: SC→LC: R = CD: (CD + SD) →LC = R/(m+1)

OL = CO – LC = R – R/(m+1) = (m ∙ R)/(m+1);

3.Рассмотрим треугольник LOK, угол LOK=120°,

По теореме косинусов: LK²=OL² + KO² - 2∙KO∙OL∙cos120°, CO = R.

Подставив значение, получим:

LK= ∙ ;

3.Найдем площадь треугольника LOK:

SLOK= OL∙OK∙sin120°= ∙ ∙ ∙ = .

Также площадь треугольника можно найти иначе:

SLOK= LK∙h → h = =

Заменив R = , получим OL = h = .

Ответ: .