Метод періодограм

Лекція 13. Спектральний аналіз дискретних сигналів

Основною метою спектрального аналізу (СА) є оцінювання спектральної густини потужності дискретизованого сигналу (процесу) і виявлення наявності в ньому протягом певного часу періодичних сигналів з певними параметрами.

Усі відомі методи СА можна поділити на дві групи:

· методи, які в тій, чи іншій формі реалізують аналіз Фур’є;

· методи, в яких апріорно вибирається лінійна модель (дискретний фільтр), і визначаються параметри цієї модулі, які відповідають аналізованому дискретному сигналу.

Серед методів першої групи найбільш відомими є метод періодограм (метод Шустера) та кореляційний метод (метод Блекмана-Тьюкі). Найбільш часто використовуваними методами другої групи є метод на основі авторегресійної моделі, на основі моделі авторегресії та ковзаючого середнього, метод Писаренка.

Метод періодограм

Основними вхідними параметрами, які використовуються в методах спектрального аналізу,є: період дискретизації сигналу – T, роздільча здатність – Δf, загальна тривалість сигналу – θ, кількість відліків сигналу - N. При цьому:

θ =К₀/ Δf, а також N=int(θ/T) (89)

де К₀ – коефіцієнт, який визначається видом вагової функції (вікна).

Алгоритм методу періодограм в загальному складається із двох етапів:

· Оброблення сигналу на інтервалі спостерігання θ.

· Усереднення результатів, отриманих для декількох інтервалів спостерігання, з метою зменшення дисперсії оцінки.

Перший етап включає наступні кроки:

1. Визначення значення на основі (89), якщо отримане N не дорівнює цілочисленному ступеню 2, то сигнал доповнюється нулями до необхідної для використання алгоритму ШПФ із основою 2 довжини.

2. Вибір вагової функції w(n) та обчислення ДПФ на r-му інтервалі:

, для k=0,1 …N-1 (90)

3. Обчислення періодограми за формулою:

(91)

4. При необхідності збільшення числа відліків періодограми сигнал доповнюється нулями, кроки 2 та 3 повторюються. При цьому формула (90) модифікується наступним чином:

, для k=0,1 …N2^l-1 (92)

де

Порівнюючи формули (90) та (92), бачимо, що: = , де s=k2^l, тобто доповнення сигналу нулями не змінює основні складові спектру (періодограми), а лише появляються додаткові проміжні складові.

Другий етап алгоритму виконується у випадку, якщо інтервал спостерігання (загальна довжина) сигналу суттєво перевищує N. Тоді ми можемо обчислити періодограми на декількох ділянках сигналу і усереднити результати обчислення, що у випадку стохастичного сигналу дає можливість зменшити дисперсію оцінки спектру.

Другий етап включає наступні кроки:

1. Вибір коефіцієнта перекривання сусідніх інтервалів D. Як правило, D вибирається рівним 0,5 (перекривання наполовину) або 0,75 (перекривання на ¾ інтервалу).