Рецензент Иванов С.П., доц., канд. техн. наук

3.1.1.2. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит любой прямой, лежащей в этой плоскости (рис. 2).

Рис. 2. Принадлежность точки М плоскости:

а) плоскость ∑ задана параллельными прямыми;

б) плоскость Р задана следами

3.1.1.3. Прямая принадлежит плоскости:

1) если две любые точки прямой принадлежат плоскости (рис.3);

2) если прямая проходит через точку плоскости параллельно какой-либо прямой, расположенной в заданной плоскости (рис. 4).

Рис. 3. Принадлежность прямой l Рис. 4. Принадлежность прямой h

плоскости ∑ (∆АВС) плоскости Р (P_V, P_H)

3.1.2. Определение натуральной величины (Н. В.) отрезка прямой общего положения и углов наклона (α, β) прямой к плоскостям проекций H и V (рис. 5)

Рис. 5. Определение натуральной величины отрезка прямой и углов наклона ее к плоскостям проекций

3.1.3. Взаимное положение двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей

3.1.3.1. Прямые линии в пространстве могут пересекаться между собой, быть параллельными и скрещиваться. У параллельных прямых общего положения их одноименные проекции параллельны (рис. 6).

Рис. 6. Параллельные прямые Рис. 7. Пересекающиеся прямые

Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку – точку пересечения. Одноименные проекции пересекающихся прямых пересекаются в точках, лежащих на одной линии связи (рис. 7).

Две прямые линии, не параллельные и не пересекающиеся между собой, называются скрещивающимися. Такие прямые не имеют общей точки, т.к. они лежат в двух разных плоскостях. Поэтому точки пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых не лежат на одной линии связи (рис. 8).

В этих точках расположены проекции двух точек, лежащих на разных прямых, но находящихся на одном фронтально или горизонтально проецирующем луче. Такие точки называются конкурирующими, с их помощью определяется видимость на эпюре.

Рис. 8. Скрещивающиеся прямые

На рис. 8 точки E и F фронтально конкурирующие, причем точка F будет видимой на фронтальной плоскости проекций, т.к. Y_f>Y_e. Из двух горизонтально конкурирующих точек P и Q точка Р видима, т.к. Z_p>Z_q.

3.1.3.2. Взаимное положение двух плоскостей

Две плоскости в пространстве могут быть либо параллельными, либо пересекаться между собой. Линия пересечения плоскостей – это прямая, одновременно принадлежащая каждой из плоскостей. Строится она путем определения двух любых точек, общих для обеих плоскостей (рис. 9, 10)

Рис. 9. Построение линии пересечения двух плоскостей

Рис. 10. Построение линии пересечения двух плоскостей общего положения

3.1.3.3. Параллельные плоскости

Две плоскости параллельны между собой, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (рис. 11).

Рис. 11. Параллельные плоскости

3.1.3.4. Взаимное положение прямой и плоскости

Рис. 12. Наглядное изображение

Наглядное изображение прямой АВ, пересекающейся с плоскостью Р показан на рис. 12.

Для определения точки пересечения прямой АВ с плоскостью необходимо выполнить следующие операции (рис. 13):

1. Провести через прямую вспомогательную проецирующую плоскость Q.

2. Построить линию MN пересечения данной плоскости Р с вспомогательной.

3. Отметить точку пересечения найденной линии MN с данной прямой АВ с плоскостью Р.

Рис. 13. Построение точки пересечения прямой АВ с плоскостью

3.1.4. Перпендикулярность геометрических элементов

3.1.4.1. Теорема о проецировании прямого угла

Чтобы прямой угол проецировался ортогонально без искажения, необходимо и достаточно, чтобы одна его сторона была параллельна плоскости проекций, а вторая сторона не перпендикулярна к этой плоскости (рис. 14).

Рис. 14. Построение прямого угла

3.1.4.2. Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости.

Теорема: чтобы прямая в пространстве была перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы на эпюре горизонтальная проекция прямой была перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция – к фронтальной проекции фронтали этой плоскости (рис. 15,б).

Рис. 15. Построение прямой, перпендикулярной к плоскости:

а) в пространстве; б) на эпюре

Если плоскость задана следами, то теорема формулируется иначе: для того чтобы прямая в пространстве была перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы проекции этой прямой были перпендикулярны к одноименным следам плоскости (рис. 16,б).

Рис. 16. Построение прямой, перпендикулярной к плоскости

На рис. 16 (а, б) показано построение перпендикуляра, проведенного из точки D к плоскости ∑ (∆АВС) и Q (Q_V, Q_H).