Теоретическая часть. Отклонение, испытываемое заряженными частицами в электрическом и магнитном полях, существенно зависит от величины удельного заряда частиц

Идея эксперимента

Отклонение, испытываемое заряженными частицами в электрическом и магнитном полях, существенно зависит от величины удельного заряда частиц. Поэтому, измеряя это отклонение, можно определить удельный заряд частиц e/m. В зависимости от того, известна или неизвестна скорость частиц, приходится поступать по-разному. Если скорость частиц известна или может быть определенным образом задана в эксперименте, то достаточно измерить лишь одно из отклонений – либо в магнитном, либо в электрическом поле. Если же неизвестны и удельный заряд частиц e/m, и их скорость υ, то требуется применение и электрического, и магнитного отклонений, так как для определения двух неизвестных необходимы два соотношения. Примером методов первой группы может служить метод магнитной фокусировки для определения удельного заряда термоэлектронов. Примером второй группы является метод взаимно перпендикулярных магнитного и электрического полей, осуществляемых в магнетроне и газоразрядной трубке.

Теоретическая часть

Движение заряженных частиц в однородном электрическом поле. Если частица, обладающая зарядом е, движется в пространстве, где имеется электрическое поле с напряженностью Е, и магнитное поле с индукцией В, то на нее действует сила Лоренца. Поэтому, согласно второму закону Ньютона, уравнение частицы имеет вид

m d υ /dt= e E + e [ uB ]. (1)

Написанное векторное уравнение распадается на три скалярных, каждое из которых описывает движение вдоль соответствующей координатной оси.

Предположим, что заряженные частицы, двигающиеся первоначально вдоль оси X со скоростью υ₀, попадают в электрическое поле плоского конденсатора (рис 1). Если зазор между пластинами мал по сравнению с их длиной l, то краевыми эффектами можно пренебречь и считать электрическое поле между пластинами однородным. Направляя ось Y параллельно полю, мы имеем: E_x=E_z= 0, E_y= E. Так как магнитного поля нет, то B_x=B_y=B_z = 0.

В рассматриваемом случае на заряженные частицы действует только сила со стороны электрического поля, которая при выбранном направлении координатных осей целиком направлена по оси Y. Поэтому траектория движения частиц лежит в плоскости XY и уравнения движения принимают вид

. (2)

Рис.1

Движение частиц в этом случае происходит под действием постоянной силы подобно движению горизонтально брошенного тела в поле тяжести, поэтому ясно без дальнейших расчетов, что частицы будут двигаться по параболам.

Вычислим угол (рис. 1), на который отклонится пучок частиц после прохождения через конденсатор. Интегрируя первое из уравнений (2), находим

υ_x= υ_{0 .}

Интегрирование второго уравнения дает

V_y= Et + C,

где

t = l/υ₀

есть время нахождения частицы в электрическом поле, а С - постоянная интегрирования. Так как при t=0 (момент вступления частицы в конденсатор) υ_y=0, то С=0, поэтому

υ_{y= ,} отсюда получаем для угла отклонения θ

tg = .

Отклонение пучка существенно зависит от величины удельного заряда частиц e/m.

Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле.

Пусть частица, обладающая начальной скоростью v₀, попадает в магнитное поле с индукцией B. Это поле мы будем считать однородным и направленным перпендикулярно к скорости v₀ (рис.2).

Прежде всего, отметим, что действующая на частицу сила всегда перпендикулярна к скорости движения частицы. Это значит, что работа силы всегда равна нулю; следовательно, абсолютное значение скорости движения частицы, а значит, и энергия частицы остаются постоянными при движении. Та как скорость частицы v не изменяется, то величина силы

F = eυB

остается постоянной. Эта сила, будучи перпендикулярной к направлению движения, является центростремительной силой. Но движение под действием постоянной по величине центростремительной силы есть движение по окружности. Радиус r этой окружности определяется условием

mυ²/r = eυB.

откуда

. (3)

Кругообразное движение заряженных частиц в магнитном поле обладает важной особенностью: период обращения не зависит от энергии частицы. Действительно, период обращения равен

.

Подставляя сюда вместо r его выражение (3), имеем

. (4)

Для данного типа частиц и период, и частота зависят только от индукции магнитного поля.

Рис.3

Выше мы предполагали, что направление начальной скорости перпендикулярно к направлению индукции магнитного поля. Пусть теперь начальная скорость частицы составляет некоторый угол a с направлением поля (рис. 3). В этом случае удобно разложить скорость u₀ на две составляющие, одна из которых параллельна полю, а другая перпендикулярна полю. На частицу действует сила Лоренца, обусловленная составляющей u_n, и частица движется по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной полю. Составляющая u_t не вызывает появления добавочной силы, так как сила Лоренца при движении частицы параллельно полю равна нулю. Поэтому в направлении поля частица движется равномерно, со скоростью . В результате сложения обоих движений частица будет двигаться по цилиндрической спирали, изображенной на рис. 3. Шаг винта этой спирали

.

Подставляя вместо Т его выражение (4), имеем

(5)

Рассмотрим случай, когда углы α невелики (cosα≈1). В этих условиях можно записать

. (6)

Таким образом, путь, пройденный электроном в магнитном поле за один оборот, не зависит от угла α (для малых углов). Из этого следует, что все электроны, вышедшие из одной точки под небольшими, но разными углами к магнитному полю, после одного оборота вновь соберутся в одной точке (сфокусируются). Положение фокуса меняется при изменении величины магнитной индукции В. Для осуществления эксперимента электроны разгоняются в электрическом поле с разностью потенциалов U и приобретают кинетическую энергию

mυ²/2 = eU (7)

Из формул 6 и 7 можно найти соотношение для определения удельного заряда электрона:

e/m = 8π²U/h²B² (8)

Магнетрон.

Магнетрон представляет собой двуэлектродную лампу, содержащую накаливаемый катод и холодный анод и помещаемую во внешнее магнитное поле. Это поле создается либо катушками с током, либо электромагнитом, между полюсами которого помещается магнетрон.

На практике применяют цилиндрические магнетроны. Их анод представляет собой металлический цилиндр, а катод имеет также цилиндрическую форму и расположен на оси анода. Пути электронов в цилиндрическом магнетроне имеют сложную форму; они изображены на рис 4. Для каждого данного напряжения U между катодом и анодом существует некоторое критическое значение магнитной индукции В_к, при котором траектории электронов как раз касаются поверхности анода. Если В<В_к, то все электроны доходят до анода и ток через магнетрон имеет то же значение, что и без магнитного поля. Если же В>В_к, тони один электрон не достигает анода и ток через лампу равен нулю. Соответствующий расчет показывает, что критическое значение магнитной индукции в цилиндрическом магнетроне определяется выражением

, (9)

где a- радиус катода, b- радиус анода. Отметим также, что значение B_к не изменяется под действием пространственного заряда и имеет одно и тоже значение как в режиме насыщения, так и в режиме пространственного заряда.

Подобные измерения приводят к тем же значениям e/m для термоэлектронов, что и найденные по методу магнитной фокусировки, а также другими способами.

	Рис. 4

До сих пор мы предполагали, что все электроны покидают катод с начальной скоростью равной нулю. В этом случае при В<B_кр все электроны, без исключения, попадали бы на анод, а при В>В_кр все они не достигали бы анода. Анодный ток I_а c увеличением магнитного поля изменился бы так, как это показано на рис. 5 штриховой линией.

Рис. 5

Ia

На самом деле электроны, испускаемые нагретым катодом, обладают различными скоростями. Критические условия достигаются для различных электронов при различных значениях В. Кривая зависимости I_а=f(B) приобретает вследствие этого вид сплошной линии на рис. 5 Кроме того, невозможно обеспечить полную коаксиальность анода и катода, в реальных условиях вектор индукции магнитного поля несколько наклонён по отношению к катоду.

Если магнитное поле создаётся с помощью соленоида, то индукция магнитного поля В пропорциональна току соленоида I. В этом случае определяют зависимость анодного тока лампы I_а от тока соленоида I и строят график I_а=f(I), который называется сбросовой характеристикой. По этому графику, аналогичному изображённому на рис.5, определяют критический ток I_кр, а затем вычисляют критическое поле В_кр.