double arrow

Сила, действующая на заряд, движущийся в магнитном поле

Каждуй проводник с током создает в окружающем пространстве магнитное поле. Электрический ток представляет собой упорядоченное движение электрических зарядов. Поэтому можно сказать, что любой движущийся в вакууме или среде заряд создает вокруг себя магнитное поле. В результате обобщения опытных данных был установлен закон, определяющий поле  точечного заряда , свободно движущегося (т.е. с постоянной скоростью ):, где  угол между  и радиус-вектором , проведенным от заряда к точке наблюдения. Получаем, что движущийся заряд по своим магнитным свойствам эквивалентен элементу тока: .

Данные закономерности справедливы лишь при малых скоростях  движущихся зарядов, когда электрическое поле свободно движущегося заряда можно считать электростатическим, т.е. создаваемым неподвижным зарядом, находящимся в той точке, где в данный момент времени расположен движущийся заряд.

Из закона Ампера легко получить одно из фундаментальных физических соотношений: выражение для силы, действующей на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу, - силы Лоренца. Пусти частицы с зарядом  каждая движутся со скоростью внутри провода сечением  и длиной . Если  число свободных электронов в единице объема проводника (концентрация частиц), то сила тока .

Сила Ампера  Для однородного прямолинейного проводника . С учетом того, что  объем проводника, а общее число зарядов, создающих ток, то .

Сила(сила Лоренца), действующая на заряд , движущийся со скоростью  в магнитном поле с индукцией :  или  , где  угол, образованный вектором скорости  движения частицы и вектором  индукции магнитного поля.

Впервые это выражение вывел нидерландский физик Хендрик Антон Лоренц. Формула замечательна тем, что ее нельзя объяснить без введения принципиально нового, невещественного объекта – поля. Ведь любая упругая среда передает возмущения от источника (магнита) к приемнику (заряженной частице) радиально. И действующая на приемник сила не может быть направлена столь странным для механики образом. Сила Лоренца направлена перпендикулярно векторам индукции магнитного поля и скорости частицы. В поле магнита, поднесенного к электронно-лучевой трубке, поток электронов смещается вниз.

Сила Лоренца изменяет только направление скорости, не изменяя ее модуля, т.е. работы не совершает и кинетическая энергия заряженной частицы при движении в магнитном поле не изменяется.

Задача 4. Электрон, ускоренный разностью потенциалов , движется параллельно прямолинейному длинному проводу на расстоянии  от него. Какая сила действует на электрон, если по проводнику пустить ток ?

Скорость электрона находится из соотношения и . Со стороны магнитного поля на электрон действует сила Лоренца. Направление силы Лоренца определяется по правилу векторного произведения векторов. . Т.к. , то  

Дано: Решение:

,

Индукция магнитного поля проводника с током равна , получаем .

Ответ:

Задача 5. Электрон, ускоренный разностью потенциалов , влетел в однородное магнитное поле с индукцией  перпендикулярно к направлению линий поля. Определить радиус R, период вращения Т и момент импульса электрона.

Скорость электрона находится из соотношения и . Со стороны магнитного поля на электрон действует сила Лоренца, перпендикулярная вектору магнитной индукции и вектору скорости частицы: . Т.к. , то  Т.к. начальная скорость электрона перпендикулярна индукции, то его траектория лежит в одной плоскости. Работа силы Лоренца равна нулю, значит  

Дано: Решение:

, ,

. Из механики известно, что постоянная сила, перпендикулярная к скорости, вызывает движение по окружности. Ускорение , где , . Электрон будет двигаться с постоянным по модулю ускорением  которое перпендикулярно скорости. Радиус кривизны траектории . Период обращения электрона не зависит от скорости: , Момент импульса электрона , но т.к. векторы , то .

Задача 6. Электрон, обладающий скоростью ., влетел в однородное магнитное поле с индукцией  под углом  к направлению линий поля. Определить радиус R, период вращения Т и шаг h винтовой линии, по которой будет двигаться электрон.

На заряженную частицу, влетевшую в магнитное поле, действует сила Лоренца, перпендикулярная вектору магнитной индукции и вектору скорости частицы: . Т.к. сила Лоренца всегда перпендикулярна к скорости, то величина скорости не будет изменяться под действием этой силы. Но при постоянной скорости величина силы тоже будет постоянной. Из механики известно, что постоянная сила, перпендикулярная к скорости, вызывает движение по окружности. Следовательно, электрон, влетевший в магнитное поле, будет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной полю, со скоростью, равной поперечной составляющей  скорости; одновременно он  

Дано: Решение:

, ,

будет двигаться и вдоль поля со скоростью : , . В результате одновременного движения по окружности и по прямой электрон будет двигаться по винтовой линии. Т.к. сила Лоренца вызывает движение по окружности, то она является центростремительной силой . Отсюда получаем , . Период обращения электрона ,  т.о. период вращения частицы в однородном магнитном поле определяется только величиной, обратной удельному заряду и магнитной индукцией поля, но не зависит от ее скорости (при ). Шаг винтовой линии будет равен пути, пройденному электроном вдоль поля со скоростью  за время, которое понадобится электрону для того, чтобы совершить один оборот: . .

Ответ: , , .

Если на движущийся электрический заряд помимо магнитного поля с индукцией действует и электрическое поле с напряженностью , то результирующая сила , приложенная к заряду, равна векторной сумме сил:  - формула Ленца.

Разность потенциалов  на концах проводника длиной , движущегося в однородном магнитном поле со скоростью : , где  угол между направлением вектора скорости и вектора магнитной индукции.

Эффект Холла: возникновение в металле (или полупроводнике) с током плотностью , помещенном в магнитное поле , электрического поля в направлении, перпендикулярном  и .

Это явление было обнаружено Холлом в 1879 г. и называется эффектом Холла или гальваномагнитнымявлением. Поместим металлическую пластину с током плотностью  в магнитное поле , перпендикулярное . Скорость носителей тока – электронов – направлена противоположно . Электроны испытывают действие силы Лоренца, которая направлена в данном случае вверх. У верхнего края пластинки возникнет повышенная концентрация электронов, а у нижнего – их недостаток. В результате между краями пластинки возникнет дополнительное поперечное электрическое поле, направленное снизу вверх. Когда напряженность  этого поперечного поля достигнет такой величины, что его действие на заряды будет уравновешивать силу Лоренца, то установится стационарное распределение зарядов в поперечном направлении. Тогда  или , где  поперечная (холловская) разность потенциалов, ширина пластинки. Т.к. и , т.е. . Получаем, что поперечная разность потенциалов , где толщина пластины, постоянная Холла, зависящая от вещества. Зная постоянную Холла и удельную проводимость материала , можно найти подвижность носителей тока , определить концентрацию носителей тока, судить о природе проводимости полупроводников, т.к. знак постоянной Холла совпадает со знаком заряда носителей тока. Эффект Холла – наиболее эффективный метод изучения энергетического спектра носителей тока в металлах и полупроводниках. Он применяется так же для умножения постоянных токов в аналоговых вычислительных машинах, в измерительной технике (датчики Холла) и т.д.

Закон полного тока.

Аналогично циркуляции вектора напряженности электростатического поля введем циркуляцию вектора магнитной индукции. Циркуляция вектора  электростатического поля всегда равна нулю – электростатическое поле является потенциальным. Циркуляция вектора  магнитного поля не равна нулю – вихревое поле, и зависит от выбора контура.

Рассмотрим магнитное поле бесконечного прямолинейного проводника с током , находящегося в вакууме (см.рис.). Линии магнитной индукции представляют собой окружности, плоскости которых перпендикулярны проводнику, а центры лежат на его оси. Найдем циркуляцию вектора  вдоль произвольной линии магнитной индукции – окружности радиуса .

Опр. Циркуляцией вектора  по заданному замкнутому контуру называется интеграл , где  угол между  и . Во всех точках линии индукции вектор  равен по модулю  и направлен по касательной к этой линии, т.е. .

Получаем, что циркуляция вектора поля прямолинейного тока в вакууме одинакова вдоль всех линий магнитной индукции.

Данная формула справедлива для замкнутого контура произвольной формы, охватывающего бесконечно длинный проводник с током . Доказать!

Циркуляция вектора магнитной индукции поля прямолинейного проводника с током вдоль замкнутого контура, не охватывающего этот проводник, равна нулю.  Доказать!

Соотношения (1) и (2) в вакууме универсальны. Они справедливы для магнитного поля проводника с током любой формы и размеров, а не только для поля бесконечного прямолинейного проводника с током. Доказать!

(охватывает ток ) (не охватывает ток )  

В общем случае магнитное поле может создавать целая система из  проводников с токами . Обозначим  индукцию магнитного поля в вакууме одного  го проводника с током . Индукция результирующего магнитного поля, согласно принципу суперпозиции, . Циркуляция вектора  вдоль произвольного замкнутого контура , проведенного в поле, равна . Исходя из формул (1) и(2) получим: , следовательно, . В сумму входят только те токи, которые охватываются контуром .

Закон полного тока для магнитного поля в веществе (теорема о циркуляции вектора ): , где  число проводников с токами, охватываемых контуром произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления считается отрицательным. Закон справедлив только для поля в вакууме, т.к. для поля в веществе необходимо учитывать молекулярные токи.

Напр., для системы токов, изображенной на рисунке: .

Теорема о циркуляции позволяет находить индукцию поля без применения закона Био – Савара – Лапласа.

Циркуляция вектора напряженности Н магнитного поля вдоль замкнутого контура, охватывающего ток I: , где  проекция вектора напряженности Н на направление касательной к контуру, содержащей элемент . Если контур охватывает n токов: , где сумма – алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром.

Замечание. Применение теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции значительно упрощает расчеты симметричных магнитных полей. При этом важно, чтобы через точку, в которой требуется определить вектор , можно было провести такой замкнутый контур , совпадающий с линией индукции поля, для всех точек которого выполнялось соотношение . В этом случае для всех элементов контура  и уравнение приобретает простой вид: .

Магнитное поле соленоида и тороида.

Соленоид – цилиндрическая катушка, состоящая из большого числа витков проволоки, образующих винтовую линию. Если витки расположены вплотную или очень близко друг к другу, то соленоид можно рассматривать как систему последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса с общей осью.

На рис. показано сечение соленоида радиуса  и длины  с током . Число витков соленоида . Экспериментальное изучение магнитного поля соленоида показывает, что внутри соленоида поле является однородным, вне соленоида – неоднородным и очень слабым. Чем соленоид длиннее, тем меньше магнитная индукция вне его. Поэтому приближенно можно считать, что поле бесконечно длинного соленоида сосредоточено целиком внутри него, а полем вне соленоида можно пренебречь.

Магнитная индукция поля соленоида равна геометрической сумме магнитных индукций  полей всех витков этого соленоида. В произвольной точке А, лежащей на оси соленоида , все векторы  и результирующий вектор  направлены по оси  в ту сторону, куда перемещается буравчик с правой резьбой при вращении его рукояти в направлении электрического тока в витках соленоида. На малый участок соленоида длиной  вдоль оси приходится  витков. Если  расстояние вдоль оси от этих витков до точки А, то магнитная индукция поля этих витков , т.к. , , то и . В пределах соленоида угол изменяется от до , поэтому , где ,. В максимально, если .

Магнитное поле длинного соленоида , где число витков на единицу длины соленоида,и  - углы, под которыми из точки А видны концы соленоида .

на оси в точке, удаленной от концов: ,

в точках оси, совпадающих с ее концами: , .

Для бесконечно длинного соленоида , т.е.

Магнитный момент соленоида равен геометрической сумме магнитных моментов всех его витков: .

Задача 7. Каким должно быть отношение длины катушки к ее диаметру, чтобы магнитное поле в центре катушки можно было рассматривать как поле бесконечно длинного соленоида. Ошибка при таком допущении не должна превышать . Указание: , где  напряженность поля внутри катушки конечной длины и напряженность поля внутри бесконечно длинной катушки.


Сейчас читают про: