Логика предикатов

При изучении высказываний рассматриваются при одной фиксированной ситуации, после фиксации которой высказывание принимает значение 0 или 1.

В логике предикатов исследуется зависимость высказываний от ситуаций, при этом фиксируется не единственная ситуация, а некоторое множество допустимых ситуаций. В каждой ситуации нас, по прежнему, интересуют значения 0 и 1.

Высказывание как функция на некотором фиксированном множестве допустимых ситуаций, называется предикатом на этом множестве.

Предикатом Р(х₁…х_n), называется функция P:Mⁿ B, где М- призвольное множество, а В – двоичное множество .

Иначе говоря, n-местный предикат, определенный на множестве М – это двузначная функция от n аргументов, принимающих значение в произвольном множестве М.

М называется предметной областью предиката, а элементы этого множества (х₁…х_n) М, называются предметными переменными.

Если предикат зависит от n аргументов, то это будет n-местный предикат.

Если в предикат поставить конкретное значение аргументов, то предикат становится высказыванием.

Рассмотрим примеры предикатов:

1. Р⁰: 2²+3² 5² – высказывание

Р¹:х²+3² 5² – одноместный предикат

Р²:х²+y² 5² – двухместный предикат

Иногда используют более простую запись: x>y – это двухместный предикат, предметной областью которого могут служить любые множества действительных чисел. Высказывание 6>6 – истинно, а 7>7 – ложно. Различные подстановки чисел вместо одной предметной переменной дают различные n – местные предикаты: x>5, x>0, 7>y и т. д.

2. «Прямая Р проходит через точки А и В» – трехместный предикат, у которого предметными областями двух переменных (А и В) являются множества точек, а предметной областью третей переменной Р является множество прямых.