Пример. Вычислим поток Рвекторного поля через замкнутую кусочно-гладкую поверхность G= G1ỤG2ỤG3,состоящую из цилиндрической поверхности G1: x2+y2=16

Вычислим поток Р векторного поля через замкнутую кусочно-гладкую поверхность G= G₁ỤG₂ỤG₃, состоящую из цилиндрической поверхности G₁: x²+y²=16,

параболической поверхности вращения G₂: z=x²+y² и плоскости G₃: z=0. Этотпроток равен сумме потоков P=P₁ + P₂ + P₃ через каждую поверхность в направлении их внешних нормалей:

.

1) Для цилиндрической поверхности G₁ N₁ ортогонален OZ ècos()=0,

· x_1,2(y,z)= ; y_1,2(x,z)= è

2) Для параболической поверхности G₂ z=x²+y² x_1,2(y,z)= ; y_1,2(x,z)=

F_x(-x,y,z)= F_x(x,y,z)=7x²; F_y(x, -y,z)= F_y(x, y,z)=y², поэтому первые два слагаемых в [2] равны нулю (так как интегралы (1)=(2)=0 в [3]), и поток Р₂ определяется третьим слагаемым:

3) Поток P₃ вектора через плоскость G₃ равен нулю, так как:

· вектор нормали ||OZ è cos(α)=cos(β)=0;

· cos(γ)=-1, но z (G₃)≡0

Таким образом, поток Р векторного поля через замкнутую кусочно-гладкую поверхность G= G₁ỤG₂ỤG₃ равен P =P₁+ P₂+ P₃ =0+256π+0= 256π.