Средняя геометрическая

Средние величины.

К обобщающим количественным показателям относятся также средние величины, позволяющие получить обобщенную характеристику качественно однородной совокупности явлений по определенному количественному признаку.

Как отмечалось ранее, массовые явления обладают как общими, так и индивидуальными свойствами, различия между которыми называют вариацией. В средней величине влияние случайных причин взаимно погашается и средняя, абстрагируясь от индивидуальных особенностей отдельных единиц совокупности, выражает общие свойства, присущие всем единицам совокупности.

Средняя арифметическая (простая)

Sx

X = --------

n

получается путем простого суммирования отдельных значений признака x и делением полученной суммы S на количество признака n. Эта формула применяется тогда, когда значения не повторяются.

В отличие от относительных величин они характеризуют совокупность исследуемых явлений не по качественному, а по количественному признаку и выражаются именованными, а не отвлеченными, числами. Например, средняя нагрузка в количестве уголовных дел на одного следователя.

Если в изучаемой совокупности есть варианты признака, одинаковые для целого ряда единиц, то число этих одинаковых вариантов называется весами, или частотами.

Взвешенная средняя арифметическая

Sхk x – варианты;

X = --------

Sk k – веса;

Рассмотрим средний возраст правонарушителей

Возраст	Кол-во лиц

Средняя простая: (15+16+17+18)/4=16.5

Средняя взвешенная: (15х100+16х150+17х150+18х600)/1000=17.25

Иногда значение признака уменьшается при увеличении характеризуемых ими явлений или увеличиваются при уменьшении (средний процент выполнения плана обратно пропорционален величине планового задания). Тогда применяется

Средняя гармоническая

n

Xгарм = --------

S1/x где х – отдельные варианты, а n –их число.

Например, если объем продукции предприятия №1 составил 12 млн. рублей (200% от плана), а №2 – 12 млн. рублей (120%), то тогда средний процент выполнения составит (120+200)/2=160%. Но фактически, если план предприятия №1 – 6 млн.: (12х100)/200=6, а предприятия №2 – 10 млн.: (12х100)/120=10, процент перевыполнения плана будет при плане 10+6=16 млн. фактически 24 млн.: 24/16х100%=150%.

Для установления средних показателей темпов роста рядов динамики используется

Средняя геометрическая

Xg = ⁿ√Пx n – число значений признака, П – знак перемножения.

Динамика взяточничества в России:

Год	Абс.величина	Абс.прирост	Темп роста в разах	Темп роста в %
			1.0	100 %
		+797	1.315	131.5 %
		+1166	1.350	135 %
		+392	1.087	108.7 %
		+32	1.007	100.7 %
		+532	1.108	110.8
Средний		+583.8		117.34 %

Xg = ⁵√ 1.315х1.35х1.087х1.007х1.108=⁵√2.153=1.166 или 116.6%.

Можно определить среднюю величину без производства вычислений, как бы визуально. Для этого используют такие средние величины как мода и медиана (структурные позиционные средние).

Мода – это наиболее часто встречающаяся величина (наибольшая частота).

Медиана – это средняя вариантов ранжированного (упорядоченного) ряда, расположенного в определенном порядке (по возрастанию или убыванию). Она делит такой ряд пополам.