Собственные значения и собственные векторы

Если А - квадратная матрица порядка n, то любой ненулевой вектор размера (матрица - столбец размера для которого справедливо матричное уравнение

(6)

где - некоторое число, называется собственным вектором матрицы А, а

- принадлежащим ему собственным значением матрицы А.

Матричное уравнение (6) эквивалентно линейной системе

(6¢)

Перенесем члены, стоящие в правых частях уравнений, в их левые части и приведем подобные члены. Получим однородную систему уравнений:

(7¢)

которая в свою очередь эквивалентна матричному уравнению:

(7)

Т.к. по определению собственный вектор (столбец неизвестных данной системы) является ненулевым вектором, нам нужны нетривиальные решения системы (, следовательно, определитель последней системы должен быть равен нулю, т.е.

(8) .

Последний определитель получается из элементов исходной матрицы А вычитанием собственных значений из ее диагональных элементов:

(8¢) =0.

Вычисляя определитель, мы получим некоторый многочлен n -й степени относительно . Данный многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А, а уравнение (8) - характеристическим уравнением ее. Решениями характеристического уравнения являются собственные значения матрицы А.

Представляя каждое из найденных значений в уравнение (7) и находя нетривиальное решение его , мы находим собственный вектор матрицы А, принадлежащий собственному значению .

Пример 7. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А, где .

Составим характеристическое уравнение матрицы А:

= 0.

Раскроем определитель по правилу треугольника:

После перемножения скобок и приведения подобных членов, будем иметь уравнение 3-й степени (матрица А 3-го порядка) относительно ; но удобнее. не выполняя этих преобразований, каждый множитель приравнять нулю, тем самым мы находим собственные значения матрицы А: