Одноканальная однофазовая модель

Одноканальная однофазовая модель является простейшей моде­лью систем массового обслуживания. Она состоит из одного блока обслуживания, на который поступают требования (заявки). Если блок свободен на момент поступления заявки, то он немедленно при­ступает к ее обслуживанию. В противном случае заявка ставится в очередь. При наличии очереди первой обслуживается заявка, посту­пившая раньше остальных. Промежуток времени между поступле­ниями заявок и продолжительность обслуживания обычно считаются случайными величинами с заданными законами распределения.

При анализе функционирования такой системы массового обслу­живания обычно интересуются такими величинами, как среднее время ожидания заявки в очереди, среднее время простоя системы обслужи­вания в ожидании очередной заявки, средняя длина очереди и т.п.

Рассмотрим имитационную модель, в которой необходимо опре­делить средние времена ожидания и простоя. Перечислим перемен­ные, используемые в модели.

1.Выходные переменные:

EWT- среднее время ожидания требования;

EDT - среднее время простоя системы в ожидании поступления очередного требования.

2. Переменные состояния системы:

WTj- время ожидания 1-го требования, i = l,…, m;

DTi- время простоя в ожидании г-го требования, i = l,…, m.

3. Входные переменные (случайные):

ATi- интервал времени между появлениями i-ro и (/ +1)-го требо­ваний;

STi- время обслуживания 1-го требования.

Предполагается знание законов распределения р(АТ) и р(SТ) вели­чин AT и ST, соответственно. Будем считать, что эти величины рас­пределены по экспоненциальному закону. Это позволит сравнить полученные при моделировании результаты с теоретическими, опре­деленными аналитически.

Искомые величины могут быть определены при моделировании по формулам

где m –число заявок, поступивших в систему.

Рассмотрим графическую интерпретацию работы такой системы массового обслуживания (рис. 17). В начальный момент времени (t = 0) в систему поступила первая заявка и сразу началось ее обслу­живание.

Рис.17 Временная диаграмма работы одноканальной однофазовой СМО

Через интервал времени АТ₁ поступает вторая заявка. К этому моменту обслуживание первой заявки может быть окончено, как показано на рис.17. В таком случае простой системы в ожидании очередной заявки будет равен DT₁ = AT₁-ST₁. Вторая заявка также начинает обслуживаться в момент поступления, но третья заявка по ступает в систему ранее конца обслуживания второй. В этом случае третья заявка будет находиться в очереди на обслуживание время, равное WТз = ST₂ – АТ₂.Ее обслуживание начнется сразу же поcле окончания обслуживания предыдущей и т.д. Наличие индексов у переменных на рисунке, иллюстрирующем работу системы, усложняет модель. Если заметить, что обслуживание очередной заявки не может начаться раньше конца обслуживания предыдущей, и произвести фиктивный сдвиг интервала между появлениями заявок на величину WТ (на рис.17 момент появления «сдвинутой» третьей заявки отмечен пунктиром и штрихом у номера заявки), то на временной оси номер заявки всегда будет совпадать с индексом у переменной длительности обслуживания. В этом случае индексы у переменных можно отбро­сить, а блок-схема модели существенно упростится (рис. 18).

Рис.18 Блок-схема одноканальной однофазной СМО

В блоке 1 приравниваются нулю начальные значения суммарных величин времени ожидания и простоя, а также задается величина мо­делируемого числа заявок М и начальное значение счетчика числа зая­вок I. Блок 2 генерирует интервал между появлениями очередных зая­вок. В блоке 3 производится фиктивный сдвиг интервала между появ­лением заявок. Разность AT-WT определяет новое значение интервала между заявками. В блоке 4 определяется продолжительность обслу­живания, в блоке 5 - соотношение между величинами ST и AT. В слу­чае ST >АТ заявка находится в состоянии ожидания обслуживания, а простой системы равен нулю. В случае ST< AT система будет простаи­вать, а следующая заявка сразу будет обслужена. При ST=AT (теорети­чески возможен такой случай) времена простоя и ожидания будут рав­ны нулю. Вычисление времени простоя и времени ожидания произво­дится в блоках 6 и 9. Суммарное время ожидания или простоя опреде­ляется в блоках 7 и 10. Блок 11 увеличивает число обслуженных зая­вок на 1, а блок 12 проверяет условие конца моделирования. В блоке

13 производится подсчет средних времен простоя и ожидания, а блок

14 выводит на печать результаты моделирования.

Очевидно, что рассмотренная модель системы массового обслу­живания имеет смысл только для случая, когда среднее время обслу­живания меньше среднего интервала между заявками. В противном случае длина очереди будет со временем бесконечно увеличиваться.

Эта простейшая модель имеет самостоятельное значение и ис­пользуется в качестве составной части в более сложных моделях.

3.4.3. Одноканальная многофазовая модель массового обслуживания

Обобщением одноканальной однофазовой модели СМО является система, состоящая из N различных участков обслуживания, через которые последовательно проходит каждая заявка. Каждый участок в данный момент может обслуживать только одну заявку. Предположим такой режим работы многофазовой модели, при котором каж­дый предыдущей участок многофазвой модели работает независима; от последующего и между отдельными блоками могут возникать внутренние очереди заявок на обслуживание.

Введем следующие значения переменных: (для i = l,…,m, j = 1,…,k)

AT_i - промежуток времени между i и i +1заказами;

ST_ij - время обработки i -го заказа на j -м участке;

WT_ij - время ожидания i -м заказом на j -м участке треборания;

DT_ij - время, в течение которого простаивает j -й участок в ожида­нии i -го заказа;

T _ij = WT ij + ST ij - полное время пребывания i -го заказа на j -м участке.

В начальный момент времени (при i = 1):

Для i = 2,…, m величина T _ij= WT_ij+ ST_ij, j = 1,…,k.

Знак разности DIF показывает, ожидает ли заказ очереди на дан­ном участке или участок простаивает в ожидании заказа:

Как и прежде, предполагается знание статистических характери­стик величин А Т и SТ (Y).

На рис. 19 представлена графическая интерпретация функциони­рования такой СМО при k = 3. Штриховкой отмечены случаи ожида­ния заказов в очереди.

С помощью рассматриваемой модели СМО можно решать такие задачи, как определение средней производительности системы (числа заказов, проходящих через систему в единицу времени), средней про­должительности пребывания заказов в системе и т.п. Блок-схему алго­ритма функционирования такой модели можно найти в работе [3].

Рис. 19 Временная диаграмма работы одноканальной многофазовой модели СМО