Runif(n,a,b)

Результатом выполнения функции является вектор из n случайных чисел интервала (а,  b).

Генерируемая последовательность чисел связана со значением, указанным в поле Seed   value   for   random   numbers (Начальное значение для случайных чисел) на вкладке Built-in Variables (Встроенные переменные) диалогового окна команды Math / Options (Математика / Опции). По умолчанию оно равно 1. Если его не изменять, то генерируется одна и та же последовательность.

29. Выведите значение вектора x. Задайте для n значение 10. Повторите расчет несколько раз либо командой Math / Calculate (Математика / Пересчитать), либо командой Math / Calculate Worksheet (Математика / Пересчитать рабочий лист)^[17]). Изменяется ли при этом содержимое вектора? Задайте для n значения 100, 1000, 10000, …^[18]) Убедитесь, что генерируемые числа принадлежат интервалу (0, 1). Какой максимальный размер (с точностью порядка 10) может иметь вектор x? Укажите его в текстовом регионе комментарием.

30. Задайте для n значение 10. Постройте график в двумерной декартовой системе координат (X-Y Plot), отложив по оси абсцисс номера элементов вектора x, а по оси ординат их значения. Правую границу графика по оси абсцисс укажите выражением n +1. Измените формат линий графика (Traces): для Type (тип линии) установите значение points (точки), для Weight (размер) - 2. Подсчитайте количество изображенных на графике красных точек. Выполните трассировку (Trace) графика в режиме Track Data Points (Следовать точкам данных). Перемещение по графику осуществляйте клавишами ® и. Сравните ординаты точек графика со значениями соответствующих элементов вектора x.

Задайте для n значения 100, 1000, 10000, … Какой максимальный размер (с точностью порядка 10) может иметь изображаемый вектор x? Укажите его в текстовом регионе комментарием. Изобразите на графике только нечетные элементы вектора. Будет ли построен график, если для n задать максимально допустимое значение, умноженное на 2? Убедитесь в этом.

Задайте для n значение 10. Создайте пять копий построенного графика^[19]). Измените формат линий графика каждой из них, выбирая поочередно из предложенных вариантов типов линии (Type) следующие: lines (прямые), bar (прямоугольник), step (шаг), stem (стержень), solid bar (сплошной прямоугольник). Расположите все графики в видимой части рабочей области. Если необходимо, измените масштаб отображения документа командой View / Zoom (Вид / Масштаб) или соответствующим ей элементом панели инструментов. Сравните графики. Пересчитайте документ несколько раз, сравнивая графики. Сохраните документ.

31. Создайте новый документ. Присвойте переменной ORIGIN значение 1. Для заданных значений m и n (m и n – переменные) создайте матрицу A из m  ´  n случайных целых чисел от 0 до 255. Для получения из вещественного числа целого используйте подходящую функцию из категории Truncation and Round-Off (Усечение и Округление) (см. ниже). Обоснуйте выбор функции.

Функции категории Truncation and Round-Off (Усечение и Округление):

Функция	Результат выполнения
ceil(x)	- наименьшее целое число, большее или равное х;
floor(x)	- наибольшее целое число, меньшее или равное х;
round(x,n)	- округленное значение х до n цифр после десятичной точки, если n>0; с n цифрами до десятичной точки, если n<0; до ближайшего целого, если n=0;
trunc(x)	- целая часть числа х.

32. Задайте для m и n значения 1 и 10 соответственно. Командами меню Insert / Graph (Вставка  /  График) или соответствующими кнопками панели Graph (График) постройте для сравнения четыре трехмерных графика (3D Plot): два типа Surface Plot (график поверхности) и два типа 3D Scatter Plot (трехмерный точечный график), указав для каждого из них в местозаполнителе слева под областью графика имя матрицы A. Измените формат одного из графиков типа Surface Plot (график поверхности): на вкладке Appearance (Оформление) диалогового окна команды Format / Graph / 3D Plot… (Формат / График  / 3D   График… ) ^{[20] )} установите для Line Options (Опции линии) режим No Lines (нет линий), a для Point Options (Опции точки) – флаг Draw Points (рисовать точками). Сравните полученный график с графиком типа 3D Scatter Plot (трехмерный точечный график). Сравните их форматы.

Исследуйте полученные графики. Какие значения были отложены по осям координат построенных графиков? Установите указатель мыши в пределах области первого из точечных графиков и, используя операцию перетаскивания, разверните его плоскостью ij. Второй точечный график разверните плоскостью iA_ij. Третий – плоскостью jA_ij. Замените цвет точек графиков на красный (Red), зеленый (Green) и синий (Blue), щелкнув правой кнопкой мыши^[21]) по цветному (по умолчанию – черному) прямоугольнику справа от режима Solid Color (Чистый цвет) на вкладке Appearance (Оформление) диалогового окна команды Format / Graph / 3D Plot… (Формат / График  / 3D   График… ).

Поворачивая график типа Surface Plot (график поверхности), сравните его с остальными.

Задайте для m значение 2. Проанализируйте изменения графиков. Представьте и четвертый график как точечный. Задайте для n значение 100. Проанализируйте изменения графиков. Задайте для m поочередно значения 5, 10, 100, анализируя каждый раз изменения графиков.

Сохраните документ.

Полученные в Mathcad данные для их анализа и обработки другими программами могут быть выведены (записаны) в файл. Соответствующие функции включены в категорию File Access (Доступ к файлу). Так функция WRITEPRN в выражении

WRITEPRN("datafile.txt"):=M

выведет (запишет) элементы матрицы M в текстовый файл datafile.txt. Точность (precision) записи чисел и ширина (width) поля вывода, указываются системными (встроенными) переменными PRNPRECISION и PRNCOLWIDTH (см. вкладку Built-in Variables (Встроенные переменные) диалогового окна команды Math / Options (Математика   /   Опции)). По умолчанию числа выводятся с точностью 4 значащих цифры в поле шириной 8 позиций.

Аналогично выполняется функция APPENDPRN. Отличия состоят в том, что функция WRITEPRN записывает данные в новый или имеющийся файл, считая его пустым, а функция APPENDPRN дописывает данные в конец имеющегося файла, сохраняя его содержимое.

Файл указывается по правилам операционной системы: либо полным именем с указанием диска и пути к файлу, либо относительно каталога (папки), в котором сохранен файл документа, выполняющего запись в файл. В некоторых случаях (например, если документ еще не был сохранен) файл с данными сохраняется во временном системном каталоге.

33. Откройте файл с документом, созданным при выполнении задания 30. Задайте для n значение 10. Замените интервал генерации случайных чисел на (0, 2 p). Проанализируйте изменения графиков. Изменились ли границы построения графиков. Сравните значения границ по оси ординат с ординатами точек графика. Как они были определены?

Сохраните изменения в новом файле.

34. Выведите значения системных (встроенных) переменных PRNPRECISION и PRNCOLWIDTH. Организуйте вывод в текстовые файлы "vector" и "vectorT" векторов x и x ^T соответственно. Где были сохранены файлы? Какое расширение имени они получили? Откройте их программой Блокнот. Сравните содержимое файлов с не установленным режимом Перенос по словам (см. меню Формат или Правка). В чем причина отличия? Сравните записанные в файлы числа со значениями соответствующих элементов вектора x, выведенными на экран. Как при выводе данных в файлы были использованы значения переменных PRNPRECISION и PRNCOLWIDTH? Закройте окна программы Блокнот.

Отключите вычисление формулы, выводящей в файл вектор x, выполнив для нее команду Disable Evaluation (Отключить вычисление) контекстного меню или установив одноименный флаг на вкладке Calculation (Вычисление) диалогового окна Properties (Свойства). Обратите внимание на черный прямоугольник, появившийся в правом верхнем углу региона в результате применения команды^[22]).

Задайте для n значение 100. Проанализируйте изменения графиков. Изменилось ли содержимое файлов "vector" и "vectorT"? Убедитесь в этом. Используя возможности программы Блокнот, измените содержимое файла "vector": удалите несколько любых значений и добавьте в его конец числа 0, p и 2 p. Сохраните изменения в том же файле. Закройте окна программы Блокнот.

Отключите вычисление формулы, выводящей в файл вектор x ^T.

35. Откройте файл с документом, созданным при выполнении задания 32. Задайте для m и n значения 3 и 4 соответственно. Сохраните изменения в новом файле. Организуйте вывод в текстовые файлы "matrix" и "matrixT" матриц A и A ^T соответственно. Откройте файлы программой Блокнот. Сравните содержимое файлов с не установленным режимом Перенос по словам (см. меню Формат или Правка). В чем причина отличия? Закройте окна программы Блокнот.

Задайте для m и n значения 1 и 10 соответственно. Как изменилось содержимое файлов "matrix" и "matrixT"? Убедитесь в этом. Отключите вычисление формул, выводящих данные в файлы.

Используя возможности программы Блокнот, измените содержимое файлов: добавьте в файл "matrix" две строки, а в файл "matrixT" два столбца чередующихся в шахматном порядке значений 0 и 255. Сохраните изменения в тех же файлах. Закройте окна программы Блокнот.

Часто данные в Mathcad поступают из файла. Содержимым такого файла могут быть экспериментальные данные, фиксируемые аппаратными средствами и программным обеспечением сбора данных, данные из электронной таблицы или базы данных, результаты выполнения других программ. Mathcad в категории File Access (Доступ к файлу) предлагает функции для ввода (чтения) данных из файла. Так функция READPRN в выражении

M:=READPRN("datafile.txt")

вводит (считывает) весь текстовый файл datafile.txt в матрицу M. Содержимым такого файла могут быть целые числа и числа с фиксированной (3.14) или плавающей (1.60E-19) точкой^[23]). Каждая строка значений в файле данных становится строкой в матрице. Значения в строке могут разделяться пробелами, запятыми, символами табуляции.

Файл указывается подобно тому, как и для функций WRITEPRN и APPENDPRN.

36. Создайте новый документ. Введите данные из файла "vector", созданного при выполнении задания 34 в матрицу X. Как в файле при выполнении этого задания следовало бы представить значения p и 2 p? Нужно ли в формуле ввода указывать расширение имени файла? Какой размер будет иметь созданная при этом матрица? Определите его, используя функции rows, cols и length категории Vector and Matrix (Вектор и матрица)^[24]). Какой индекс у первого и последнего элементов X? Определите индекс последнего элемента X функцией last категории Vector and Matrix (Вектор и матрица). Изменится ли размер X, нумерация его элементов, если изменить значение встроенной переменной ORIGIN на вкладке Built-in Variables (Встроенные переменные) диалогового окна команды Math / Options (Математика   /   Опции)?

Выведите X. Какова точность представления введенных данных? Какова точность представления считанных из файла значений p и 2 p? Были ли они округлены? Если да, то почему?

Сохраните документ.

37. Отключите вычисление формулы ввода из файла. Объясните причину ошибок. Включите вычисление формулы ввода из файла. Было ли при этом выполнено чтение из файла? Убедитесь в этом, добавив в любое место файла еще одно число, например, p /2 ^[25]), и повторив проведенные выше действия. В каких случаях выполняется повторное чтение из файла? Будет ли оно выполнено, если удалить, а затем добавить формулу вывода X? если открыть документ заново? если пересчитать часть документа или весь документ командами Math / Calculate (Математика / Пересчитать) и Math / Calculate Worksheet (Математика / Пересчитать рабочий лист)? Убедитесь в этом.

Отключите автоматический режим вычисления документа снятием флага Math / Automatic Calculation (Математика / Автоматическое вычисление), установив тем самым ручной режим вычисления. Сохраните документ в новом файле. Закройте файл командой File / Close (Файл / Закрыть) или окно документа соответствующей кнопкой в его правом верхнем углу.

Откройте файлы, созданные при выполнении этого и предыдущего заданий. Были ли при этом пересчитаны открытые документы? Был ли сохранен в файле установленный для них режим вычисления (автоматический/ручной). Выполните расчет нерассчитанного документа. Какую из команд Math / Calculate (Математика / Пересчитать) или Math / Calculate Worksheet (Математика / Пересчитать рабочий лист) следует для этого выбрать?

Mathcad строит графики по точкам. Множество точек, по которым будет построен график, можно задавать их координатами, представленными векторами и матрицами. Вид графика при этом зависит от количества точек и их расположения. Множество точек, по которым будет построен график, можно задавать и функциями. Это может быть явная функция, выражающая одну координату через другую в двумерном случае и две других в трехмерном случае, или две (в двумерном случае) и три (в трехмерном случае) параметрические функции (от одного или двух параметров) для вычисления каждой координаты. Такой способ построения графика в Mathcad назван быстрым (quick). Множество точек, по которым в этом случае строится график, формируется программно. Так можно получать графики кривых в декартовой (X-Y Plot) и полярной (Polar Plot) системах координат на плоскости, пространственных кривых и поверхностей (Surface Plot) в декартовой (Cartesian), сферической (Spherical) и цилиндрической (Cylindrical) системах координат (Coordinate System).

38. Получите вектор S значений функции sin для элементов вектора X. Объедините элементы векторов X и S в двухстолбцевую и двухстрочную матрицы – таблицы значений функции sin  x, используя функции augment и stack категории Vector and Matrix (Вектор и матрица) соответственно.

Постройте график типа X-Y Plot, указав в местозаполнителе оси абсцисс имя вектора X, а в местозаполнителе оси ординат - имя вектора S. Выполните трассировку полученной ломанной линии, сравнивая координаты ее вершин со значениями соответствующих элементов векторов X и S. Как был построен график? Используя средства форматирования графика, оставьте на нем только точки, по которым строилась ломаная. Увеличьте их размер. Увеличьте размер графического региона.

Постройте график функции sin  x, x – независимая переменная. Выполните трассировку полученного графика в режиме Track Data Points (Следовать точкам данных). Как было получено множество точек, по которым построен график? Как были определены границы промежутков изменения координат?

Добавьте график функции sin  x, x – независимая переменная, на промежутке [0, 2 p ] в регион графика, построенного по векторам X и S. Проанализируйте их взаимное расположение.

39. Функциями категории Sorting (Сортировка) (см. ниже) отсортируйте вектор X и таблицы значений функции sin  x по возрастанию аргумента. Обоснуйте выбор функции.

Функции категории Sorting (Сортировка):

Функция	Результат выполнения
sort(v)	- сортирует элементы вектора v по возрастанию;
csort(A,j)	- сортирует строки матрицы A по возрастанию элементов j-го столбца;
rsort(A,i))	- сортирует столбцы матрицы A по возрастанию элементов i-ой строки;
reverse(v)	- переставляет элементы вектора v в обратном порядке.

40. Пересчитайте вектор S для отсортированного вектора X и повторите построение графика для измененных векторов X и S. Средствами форматирования разметьте точки графика символом (symbol) box (рамка). Сравните полученный график с графиком функции sin  x.

Постройте график типа X-Y Plot, указав в местозаполнителе оси абсцисс столбец аргумента, а в местозаполнителе оси ординат столбец значений функции sin  x полученной выше таблицы. Постройте график по двухстрочной таблице значений функции sin  x.

41. Получите вектор C значений функции cos для элементов отсортированного вектора X.

В двумерной декартовой системе координат (X-Y Plot), постройте график по точкам, абсциссами которых являются элементы вектора S, а ординатами – соответствующие элементы вектора C. Выполните трассировку полученного графика, сравнивая координаты точек, по которым строился график, со значениями элементов соответствующих векторов.

Постройте в этом же графическом регионе окружность, заданную параметрически:

указав в местозаполнителе оси абсцисс sin(t), а в местозаполнителе оси ординат cos(t), t – независимая переменная. Имеет ли построенная кривая форму окружности? Если нет, то почему? Измените формат графика, установив для осей (Axes) равный масштаб (флаг Equal Scales). Проанализируйте взаимное расположение построенных графиков. Выполните трассировку графика окружности в режиме Track Data Points (Следовать точкам данных). Как было получено множество точек, по которым построен график? Какие значения мог получать и какие получал при этом параметр t? Как были определены границы графика? Можно ли их изменить?

42. Выведите значения элементов вектора X дважды: в радианах и градусах, выровняв регионы по горизонтали. Справа от них постройте график типа Polar Plot (полярный график), указав в местозаполнителях для полярного радиуса (слева от графика) и полярного угла (под графиком) вектор X. Выполните трассировку графика в режиме Track Data Points (Следовать точкам данных), сравнивая полярные координаты точек, по которым строился график, со значениями элементов вектора X: координату Radius (полярный радиус) – со значением в радианах, а координату Angle (полярный угол) – со значением в градусах.

Постройте еще один полярный график, указав в обоих местозаполнителях независимую переменную f. Сравните построенные графики. Выполните трассировку построенной спирали Архимеда в режиме Track Data Points (Следовать точкам данных). Как было получено множество точек, по которым построен график? Как были определены границы промежутков изменения координат? Можно ли их изменить?

Постройте график многовитковой спирали Архимеда, определяемой в полярной системе координат уравнением r  =  f, r – полярный радиус, f – полярный угол.

43. Постройте полярный график, указав в местозаполнителе для полярного угла вектор X, а в местозаполнителе для полярного радиуса через запятую векторы S и C. Выполните трассировку построенных ломаных линий в режиме Track Data Points (Следовать точкам данных), сравнивая полярные координаты точек, по которым строились графики, со значениями соответствующих элементов векторов. Как были представлены отрицательные значения элементов векторов.

Постройте в одном графическом регионе однолепестковые розы, определяемые в полярной системе координат уравнениями r  = sin  f и r  = cos  f. Выполните трассировку графиков роз в режиме Track Data Points (Следовать точкам данных). Как были получены множества точек, по которым построены графики? Как были определены границы промежутков изменения координат?

Постройте многолепестковые розы, определяемые в полярной системе координат уравнениями r  = sin  kf и r  = cos  kf, k – целое число (при k нечётном роза состоит из k лепестков, при k чётном – из 2 k лепестков).

44. Выполните задания 36 - 43 для данных из файла "vectorT", созданного при выполнении задания 34. Сравните графики, заданные векторами, с соответствующими графиками, заданными функциями. Сохраните полученный документ в новом файле.

45. Создайте новый документ. Создайте таблицу умножения целых чисел от 0 до 10 и поместите ее в матрицу Z. Постройте график поверхности (Surface Plot), указав в местозаполнителе имя матрицы Z. Как было получено множество точек, по которым построен график?

Установите указатель мыши в пределах области графика и, используя операцию перетаскивания при нажатой клавиши shift, запустите график во вращение. Остановите вращение щелчком мыши по графику. Повторите действия, изменяя направление и скорость операции перетаскивания.

Определите функцию 

z  (x,  y) =  x × y.

Постройте график поверхности (Surface Plot), указав в местозаполнителе имя функции z. Сравните полученный график с построенным выше. В чем причины отличия? Измените тип графика, выбрав на вкладке General (Общие) диалогового окна команды Format / Graph / 3D Plot… (Формат / График  / 3D   График… ) в области Plot 1 Display as (График 1 Отобразить как) опцию Data Points (точки данных). Как было получено множество точек, по которым построен график? Как при этом использовались данные областей Range (Диапазон) вкладки QuickPlotData (Данные для быстрого графика) диалогового окна 3-D Plot Format. И змените границы промежутков изменения (начало (start) и конец (end)) и число ячеек сетки (# of Grids) для аргументов x и y таким образом, чтобы вид графика, заданного функцией z, совпал с графиком, заданным матрицей Z. Можно ли таким же способом изменить вид графика, заданного матрицей Z?

Постройте по функции z еще один график поверхности. Получите в матрице Z, такое множество значений, чтобы построенный по ним график имел такой же вид.

46. Создайте новый документ. Определите три функции от одного параметра

x  (u) = sin  u,  y  (u) = cos  u,  z  (u) =  u.

Постройте график типа 3D Scatter Plot (трехмерный точечный график), указав в местозапол-нителе в круглых скобках через запятую имена определенных выше функций. Как было получено множество точек, по которым построен график? Как при этом использовались данные области Range (Диапазон) вкладки QuickPlotData (Данные для быстрого графика) диалогового окна 3-D Plot Format. Какие значения принимал параметр u? Соедините точки графика линиями, установив на вкладке Appearance (Оформление) диалогового окна 3-D Plot Format для Line Options (Опции линии) режим Lines (линии).

Создайте копию графика. Измените для него данные области Range (Диапазон) вкладки QuickPlotData (Данные для быстрого графика) диалогового окна 3-D Plot Format: start (начало), end (конец) и # of Grids (число ячеек сетки). Как это повлияло на вид винтовой линии?Сколько витков будет иметь винтовая линия, если для границ промежутка изменения параметра указать значения 0 и 10 p? Можно ли их указать в соответствующих полях области Range (Диапазон)? Как влияет на вид изображаемой линии увеличение числа ячеек сетки?

Создайте три вектора X, Y и Z, содержащие соответственно абсциссы, ординаты и аппликаты точек, по которым был построен первый график. Повторите построение графика, указав в местозаполнителе в круглых скобках через запятую имена созданных векторов. Можно ли теперь для границ промежутка изменения параметра указать значения 0 и 10 p? Можно ли повысить гладкость изображения винтовой линии?

47. Добавьте в документ, созданный при выполнении задания 44 график пространственной кривой, определяемой векторами X, S и C. Сравните полученный график с построенными при выполнении предыдущего задания. Можно ли таким способом получить изображение многовитковой винтовой линии?

48. Создайте новый документ. Определите три функции от двух параметров

x  (u,  v) = sin  u,  y  (u,  v) = cos  u,  z  (u,  v) =  v.

Постройте график типа Surface Plot (график поверхности), указав в местозаполнителе в круглых скобках через запятую имена определенных выше функций. Как было получено множество точек, по которым построен график? Как при этом использовались данные областей Range (Диапазон) вкладки QuickPlotData (Данные для быстрого графика) диалогового окна 3-D Plot Format. Какие значения принимали параметры u и v?

В области Range 1 (Диапазон 1) число ячеек сетки (# of Grids) установите равным 6, а для границ промежутка последовательно укажите -2 и 2, -3 и 3, -4 и 4, наблюдая за изменениями графика. При каких значениях границ изображаемая поверхность будет иметь вид прямой правильной шестиугольной призмы? Можно ли их указать в соответствующих полях области Range 1 (Диапазон 1)?

Выполните построение боковой поверхности прямой правильной шестиугольной призмы по точкам, координаты которых задайте тремя векторами X, Y и Z. Аналогичным способом постройте цилиндрическую поверхность,

Mathcad в категории Vector and Matrix (Вектор и матрица) предлагает две функции CreateSpace и CreateMesh для построения пространственных кривых и поверхностей, задаваемых параметрически либо тремя функциями (от одного или двух параметров), определяющих координаты точек графика, либо одной векторной функцией (от одного или двух параметров), определяющей трехэлементный вектор координат точек графика. Функция CreateSpace строит пространственную кривую, а функция CreateMesh – поверхность, и могут использоваться в двух формах: