Цикломатическая матрица и матрица разрезов

Рассмотренные ранее такие понятия как цикломатическое число и ранг, являются одними из важных числовых характеристик графов. Они определяют, соответственно, количество базисных циклов и базисных разрежающих множеств следующим образом:

1. Количество базисных циклов графа G равно цикломатическому числу графа - числу ребер в кодереве.

2. Количество базисных разрежающих множеств равно величине ранга графа - числу ребер в остове.

Построим цикломатическую матрицу C = (c_ik) и матри­цу разрезов S = (s_jk) графа, элементы которых:

1, если g_k Î C_i; 1, если g_k Î S_j;

c_ik = s_jk =

0, если g_k Ï C_i. 0, если g_k Ï S_j.

Каждая строка матриц C и S определяет некоторый цикл и разрез графа. Количество строк этих матриц равно числу всех циклов и разрезов исходного графа G соответственно. Эти строки матриц, а также соответствующие им циклы и разрезы, можно получить как суперпозицию базисных циклов и разрежающих множеств.

Суперпозиция осуществляется с помощью операции сложения по модулю 2 двоичной алгебры, обозначаемой символом Å. Вектор-строка с_i = (c_i1, c_i2, …, c_im), описы­вающая цикл C_i графа, вычисляется как покомпо­нентная сумма по модулю 2 векторов, соответствующих базисным циклам. Аналогично, вектор-строка s_j = (s_j1, s_j2, …, s_jm) описывает разрез S_j графа и вычисляется как сумма по модулю 2 векторов, соответствующих базисным разрезающим множествам.

Рассмотрим пример построения этих матриц для графа, приведенного на рис. 3.30. Сначала вычислим ранг и цикломатическое число этого. Ранг графа – число ребер в остове (рис. 3.31) – равен 4. Цикломатическое число графа – число ребер в кодереве (рис. 3.32) – равно 3. Следовательно, имеем 3 базисных цикла и 4 базисных разрезающих множества. Далее запишем эти базисные циклы и разрезающие множества.

Базисные циклы:

Базисные разрезающие множества: