2015-06-28
1805
Всякое подмножество Г декартова произведения АхА называется отношением на множестве А.
Отношение Г называют рефлексивным, если aГа для всех a 
A.
Отношение Г называют симметричным, если аГb 
bГа.
Отношение Г называют транзитивным, если аГb, bГа аГс.
Если отношение рефлексивно, симметрично, транзитивно, то оно называется отношением эквивалентности.
1. Проверить, является ли D отношением эквивалентности на R, если D={(x;y)| sin x = sin y}.
1. D – рефлексивно, так как для любого 
R (
) 
D, т.е. для любого x R имеем sin x = sin x.
2. D – симметрично, так как для любой пары (
, 
) D имеем (
) D, т.е. для любых 
R из (x,y) D следует, что sin x = sin y, тогда и sin y = sin x, следовательно, (y,x) D.
3. D – транзитивно, так как для любых а,b,c R из того что (
) D и (
) D следует, что (
) D, т. е. если (x,y) D, то sinx=siny, если (y,z) D, то sin y = sin z, тогда sin x=sin z, следовательно, (x,z) D.
Из 1., 2., 3. следует, что D – отношение эквивалентности на R (где R – множество действительных чисел).
2. Упражнение. Выяснить, является ли 
отношением эквивалентности, если х у = {(x,y)| x = 3y}.
