Утверждение

Верхняя (нижняя) грань, если она существует, обязательно единственна.

Доказательство.

Пусть . Тогда x ≤ y, поскольку , . Аналогичным образом убеждаемся в справедливости противоположного неравенства y ≤ x, а это означает, что x = y. Ч.т.д.

Точная верхняя граница (supremum) множества E обозначается символом sup E, точная нижняя граница (infimum) - inf E.

Основные свойства верхних и нижних границ

Пусть X - частично упорядоченное множество.

1. Если , то

,

2. Если и существуют sup E₁ и sup E₂ ( inf E₁ и inf E₂), то

sup E₁ ≤ sup E₂

inf E₁ ≥ inf E₂.

3. Соотношения x ≤ y, , равносильны.

4. Соотношения x ≤ y, , равносильны.