Решение. 1. Для определения реакций расчленим систему и рассмотрим сначала равновесие стержня DЕ (рисунок 10б)

1. Для определения реакций расчленим систему и рассмотрим сначала равновесие стержня DЕ (рисунок 10б). Изобразим действующие на стержень силы: силу F, реакцию N, направленную перпендикулярно стержню, и составляющие Х_D и Y_D реакции шарнира D. Для полученной плоской системы сил составляем три уравнения равновесия:

S F_{K x}= 0, X_D + F – N · sin(60°) = 0;	(10)
S F_{K y}= 0, Y_D + N · cos(60°) = 0;	(11)
S M_D (F_K) = 0, N · 2 a – F · sin(60°)·5 a= 0.	(12)

Решим систему уравнений в MathCAD (рисунок 11).

Рисунок 11 – Решение системы уравнений с неизвестными Х_D, Y_D, N в MathCAD

2. Теперь рассмотрим равновесие угольника (рисунок 10в). На него действуют: сила давления стержня N ¢, направленная противоположно реакции N; равномерно распределенная нагрузка, которую заменяем силой Q, приложенной в середине участка КВ (численно Q = q · 4 а = 16 кН); пара сил с моментом М и реакция жесткой заделки, слагающаяся из силы, которую представим составляющими Х_А, Y_A, и пары с моментом М_A. Для этой плоской системы сил тоже составляем три уравнения равновесия:

S F_Kx= 0, Х_А + Q ·cos(60°)+ N' ·sin(60°)=0;	(13)
S F_Ky= 0, Y_A – Q ·sin(60°) – N' ·cos(60°) = 0;	(14)
S М_А= 0, M_A + M + Q ·2· a + N' ·cos(60°)·4· a + N' ·cos(30°)·6· a = 0.	(15)

При вычислении момента силы N' разлагаем ее на составляющие N' ₁ и N' ₂ и применяем теорему Вариньона. Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив систему уравнений (13) – (15), найдем искомые реакции. При решении учитываем, что численно N' = N в силу равенства действия и противодействия.

Решим систему уравнений в MathCAD (рисунок 12).

Рисунок 12 – Решение системы уравнений

с неизвестными Х_A, Y_A, M_A в MathCAD

Ответ: N = 21,7 кН, Y_D= – 10,8 кН, X_D= 8,8 кН, X_A= –26,8 кН,

Y_A= 24,7 кН, M_A= –42,6 кНм. Знаки указывают, что силы Y_D, X_А и момент М_A имеют направления, противоположные показанным на рисунке.

ЗАДАЧА 4. РАВНОВЕСИЕ ТЕЛА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

Однородная прямоугольная плита весом Р = 5 кН со сторонами АВ =3ℓ, ВС = 2ℓ закреплена в точке А сферическим шарниром, а в точке В - цилиндри-ческим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем СС ' (рисунок 13).

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вар Вариант 4

Рисунок 13 – Варианты эскизов

Продолжение рисунка 13

Вариант 5	Вариант 6
Вариант 7	Вариант 8
Вариант 9	Вариант 10

На плиту действуют пара сил с моментом М = 6 кН·м, лежащая в плоскости плиты, и две силы. Значения этих сил, их направления и точки приложения указаны в таблице 4; при этом силы F ₁ и F ₄ лежат в плоскостях, параллельных плоскости ху, сила F ₂ – в плоскости, параллельной xz, сила F ₃ – в плоскости, параллельной yz. Точки D, E, H находятся в серединах сторон плиты. Определить реакции связей в точках А, В и С. При окончательных подсчётах принять ℓ= 0,8 м.

Таблица 4 – Варианты расположения сил и точек их приложения

Сила
F ₁ = 4 H	F ₂ = 6 H	F ₃ = 8 H	F ₄ = 10 H
№ условия	точка приложения	a ₁,°	точка приложения	a ₂,°	точка приложения	a ₃,°	точка приложения	a ₄, °
	D		–	–	E		–	–
	H		D		–	–	–	–
	–	–	E		–	–	D
	–	–	–	–	E		H
	E		–	–	H		–	–
	–	–	D		H		–	–
	–	–	H		–	–	D
	E		H		–	–	–	–
	–	–	–	–	D		E
	–	–	E		D		–	–

Указания. При решении задачи учесть, что реакция сферического шарнира (или подпятника) имеет три составляющие, а реакция цилиндрического шарнира – две составляющие, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси шарнира. При вычислении моментов силы F удобно разложить ее на составляющие F ¢ и F ¢¢, параллельные координатным осям, тогда по теореме Вариньона, для оси х, например, M _x (F) = M _x (F ′) + M _x (F ′′).

Пример

Условие задачи. Вертикальная прямоугольная плита весом Р (рисунок 14) закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим шарниром в точке В и невесомым стержнем DD ¢, лежащим в плоскости, параллельной плоскости yz. На плиту действуют сила F ₁ (в плоскости xz), сила F ₂ (параллельная оси y) и пара сил с моментом М (в плоскости плиты).