Гл. 4. Выборка и выборочные распределения. Если мы произведем все возможные выборки объема п из нормально распреде­ленной генеральной совокупности и вычислим выборочное статистики для каждой из них

Если мы произведем все возможные выборки объема п из нормально распреде­ленной генеральной совокупности и вычислим выборочное статистики для каждой из них, то сможем получить выборочное распределение для этой статистики. Эти позволяет увидеть, как выборочная статистика связана с генеральным параметром. Распределение всех выборочных средних, например, для выборки объемом п единиц называется выборочным распределением выборочных средних.

Для нормальной совокупности выборочное распределение выборочных сред­них (выборка объемом а) имеет математическое ожидание:

Е (х) = ц - генеральную среднюю

и стандартную ошибку:

^SE* ^V (N-i)n *

где а — генеральная дисперсия в том случае, если объем выборки сравнительно большой по отношению к объему генеральной совокупности N.

Если генеральная совокупность бесконечна или (n/N) £ 0,05, то:

SE=

■ V?.

На основе обобщения выборочных распределений мы можем по одной выборке получить оценки генеральных параметров: ц = х и

^Л а/ Д

Где

_л/ $>-хУ _л -J£(x-x)^J

s- V--------------- ------- или о- У---------------.

П п - 1

В последующих главах используются четыре главных распределения. Все они основаны на предположении случайной выборки. Нормальное распределение z описывает распределение выборочных средних, если генеральная совокупность является нормальной:

Т/Vn

Это распределение может использоваться и в том случае, если совокупность не является нормальной, но выборка большего размера п £ 30 в соответствии с центральной предельной теоремой.

Если а не известна, но известно, что совокупность нормальна, стандартизован­ное распределение выборочных средних описывается t-распределением, где t равно:

134 Ч. 2. Анализ данных как составная часть принятия решений

s/V (п - 1) «т/Vn '

а t-распределение зависит от числа степеней свободы, которое определяется для конкретной задачи.

Распределение х представляет распределение выборочных дисперсий в том случае, если совокупность является нормальной:

2 S²

с (п-1) степенями свободы.

F—распределение описывает отношение двух выборочных дисперсий из двух нормально распределенных совокупностей:

_г_ ⁿi»i / *г£

Эти распределения табулируются различными способами и будут рассмотрены в последующих главах.

УПРАЖНЕНИЯ